0-1背包问题(DP)

问题描述：

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi，其价值为Vi，设计一个动态规划算法选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入物品i的一部分。要求如下：
（1）输入：要求可以由用户输入物品的个数、物品的重量和相应的价值，以及背包的总容量。
（2）输出：背包的总价值，以及哪几个物品放入了背包。

算法思路

首先，0-1问题具有最优子结构，即，设（y1,y2,…,yn）yi∈{0,1}（0表示不选，1表示选）是0-1背包问题的一个最优解，则（y2,y3,…,yn）是子问题

的一个最优解。
设m(i，j)是，背包容量为j，可选择物品为第i，i+1，…，n个物品时0-1背包问题的最优值，例如:m(3,10),表示，背包容量为10，可以选择的物品为第3到第n个，使得选择的物品价值最大。所以，m(1,j)为背包问题的解.

分析：

1、如果第i个物品的重量大于背包的容量，则第i个物品不装进背包，即

        m(i，j)=m(i+1,j)

2、如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值=m(i+1,j-w[i])+v[i]
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值=m(i+1,j)
取二者中价值最大的作为最优解。

     max(m(i+1,j), m(i+1,j-w[i])+v[i])

边界条件：

当j=0时，即背包容量为0，则m(i,j)=0；
当i=n时，即只能选择第n个物品，如果w[i] <= j ，即背包能装下最第n个物品，则m(i,j)=v[n]，否则，m(i,j)=0；

综上，

动态规划算法求解过程:

初始：m[i][0]=0,i=1,2,……，n
	 计算m[n,j]，j=1,2，……,c	(c为背包容量) 
第1步：计算m[n-1,j]，j=1,2，……,c
第2步：计算m[n-2,j]，j=1,2，……,c
……
第i步： 计算m[n-i,j]，j=1,2，……,c
……
第n-2步：计算m[2,j]，j=1,2，……,c
第n-1步：计算m[1,j]，j=1,2，……,c

具体算法：

#include""
#include""
#include""
int max(int x,int y){
	int retValue = x>y?x:y;
	return retValue;
}
void knapsack(int n,int c,int *w,int *v,int **m){
	int i,j;
	//当背包重量为0时，c[i][0]=0; 
	for(i=0;i<=n;i++)
		m[i][0]=0; 
	//边界条件：只有第n个物体，背包容量分别为1,2，…,c的时候m的值
	for(j=1;j<=c;j++)
	    if(j>=w[n])
	    	m[n][j]=v[n];
	    else 
			m[n][j]=0;
	//依次求解m[i][j],1<=i<n,1<=j<=c			
	for(i=n-1;i>=1;i--) 
		for(j=1;j<=c;j++)
			if(j<w[i])
				m[i][j]=m[i+1][j];
			else
				m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
	printf("MaxValue=%d\n",m[1][c]);
}

//具体选了哪些物品 
void traceback(int **m ,int *w, int c, int n, int *x){
	//求x[i]，从m[1][c]开始
	int j=c,i;
	for(i=1;i<n;i++){
	    if(m[i][j]==m[i+1][j])//没有物品增加 
	        x[i]=0;
	    else{
	        x[i]=1;
	    	j=j-w[i];
		}
	}
	if (m[i][j]>0)
	   	x[n]=1;
	else               
	   	x[n]=0;
}
int main(){
	int n;//nums of goods 
	int c;//capacity
	scanf("%d%d",&n,&c);
	int *w=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));//weights
	int *v=(int*)malloc(sizeof(int)*(c+1));//values
	int *x=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));//goods chosed
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);//start with index 1
	for(i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&v[i]);//start with index 1
	w[0]=0;v[0]=0;
	int **m=(int**)malloc(sizeof(int*)*(n+1));//m[i][j] means j capacity with i...n goods to choose
	for(int i=0;i<n+1;i++){
		m[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(c+1));
	}
	knapsack(n,c,w,v,m);
	traceback(m,w,c,n,x);
	printf("goods chosed:");
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(x[i]==1)
			printf("%d ",i); 
}