函数或曲线恒过定点

前言

函数或曲线恒过定点问题，在高中数学中很常见，也很容易被忽视，如果函数或曲线恒过定点这个隐含条件使用的好，能大大方便我们的解题。

低阶储备

在分析函数恒过定点的问题时，即可以从形的角度[做函数图像+图像变换]来思考，当然更可以从数的角度[直接计算]来思考；一般来说，一个数的问题，往往有与之相应的形的问题和其对应；自然，一个形的问题，往往有与之相应的数的问题和其对应。以下主要从数的角度来计算说明；

①一次函数$y=kx+1$恒过定点$(0，1)$，由于$x=0$时，不论$k$为何值，都有$y=1$，故其恒过定点$(0，1)$；

同理，一次函数$y=k(x-1)+3$恒过定点$(1，3)$， 由于$x-1=0$时，即$x=1$时，不论$k$为何值，都有$y=3$，故其恒过定点$(1，3)$；

正因为这样，当直线经过点$(0,1)$时，我们常常设其解析式为$y=kx+1$，当直线经过点$(1,0)$时，我们常常设其解析式为$x=ky+1$；

[补充]函数$y=(m-1)x+m$，恒过定点$(-1,1)$问题：在具体题目中如何观察确定直线所恒过的定点，采用尝试法，即分别用$x=0$，$x=\pm 1$，$x=\pm 2$，$\cdots$ \quad ，

②指数函数$y=a^x(a>0，a\ne 1)$恒过定点$(0,1)$，理由：当$x=0$时，不论$a$为何值，都有$y=a^0=1$，故其恒过定点$(0,1)$；

同理，指数型函数$y=a^{x-2}(a>0，a\ne 1)$恒过定点$(2,1)$，理由：当$x-2=0$时，即$x=2$时，不论$a$为何值，都有$y=a^0=1$，故其恒过定点$(2,1)$；

指数型函数$y=2^{x-a}+2$恒过定点$(a，3)$，理由：当$x-a=0$时，即$x=a$时，都有$y=2^0+2=3$，故其恒过定点$(a,3)$；

但是注意：指数型函数$y=a\cdot e^x(a>0)$并不恒过定点$(0，1)$，而是恒过动点$(0，a)$；

指数型函数$y=e^x+e^{-x}$恒过定点$(0，2)$，则指数型函数$y=e^{x-2}+e^{2-x}$恒过定点$(2，2)$；

指数型函数$y=e^x-e^{-x}$恒过定点$(0，0)$，则指数型函数$y=e^{x+1}-e^{-1-x}$恒过定点$(-1，0)$；

③对数函数$y=lo{g}_{a}x(a>0，a\ne 1)$恒过定点$(1，0)$，理由：当$x=1$时，都有$y=lo{g}_{a}1=0$，故其恒过定点$(1,0)$；

同理，对数型函数$y=lo{g}_2(x-b)$恒过定点$(b+1，0)$，理由：当$x-b=1$时，即$x=b+1$时，都有$y=lo{g}_{2}1=0$，故其恒过定点$(b+1,0)$；

④绝对值型函数$y=a\cdot |x|(a\ne 0)$恒过定点$(0，0)$；$y=a\cdot |x-2|(a\ne 0)$恒过定点$(2，0)$；$y=a\cdot |x-2|+1(a\ne 0)$恒过定点$(2，1)$；其中$a$的作用会改变张角的方向和大小；

⑤二次函数$y=a\cdot x^2(a\ne 0)$恒过定点$(0，0)$；二次函数$y=a\cdot x^2+1(a\ne 0)$恒过定点$(1，0)$；其中$a$的作用会改变抛物线的开口方向和张角大小。

⑥若抽象函数$y=f(x-1)+3$过定点$(2，4)$，则抽象函数$y=f(x)$过定点$(1，1)$；理由：由$f(2-1)+3=4$，即可得到$f(1)=1$，故$y=f(x)$过定点$(1，1)$；

同理，若函数$y=f(x)$过定点$(2，4)$，则函数$y=f(x-1)+3$过定点$(3，7)$；理由：由$f(2)=4$，则可知$f(3-1)+3=7$，即函数$y=f(x-1)+3$过定点$(3，7)$；

⑦ 二次函数 $y=a(x-1)(x-b)$，恒过定点$(1,0)$；

中阶储备

①共点直线系方程；比如求解直线$ax+y-3ay-1=0$所过的定点坐标；

分析：将其整理为共点直线系方程形式：$a(x-3y)+y-1=0$，

则直线$ax+y-3ay-1=0$一定经过直线$x-3y=0$和直线$y-1=0$的交点；

由 { x − 3 y = 0 y − 1 = 0 \left\{x−3y=0y−1=0

\right. {x−3y=0y−1=0​，解得$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$,

则直线$ax+y-3ay-1=0$所过的定点坐标为$(3,1)$.

②过定点和动点的抛物线族；

比如，函数$f(x)=(2x-2)(x-a)$，则抛物线一定经过定点$(1,0)$和动点$(a,0)$；

③已知曲线$F_1(x，y)=0$，$F_2(x，y)=0$相交于点$(x_0，y_0)$，则曲线$F_1(x，y)+\lambda \cdot F_2(x，y)=0$必经过点$(x_0，y_0)$，

证明：由于曲线$F_1(x，y)=0$，$F_2(x，y)=0$相交于点$(x_0，y_0)$，则其必然满足$F_1(x_0，y_0)=0$，$F_2(x_0，y_0)=0$，

则$F_1(x_0，y_0)+\lambda \cdot F_2(x_0，y_0)=0+\lambda \times 0=0$，故曲线$F_1(x，y)+\lambda \cdot F_2(x，y)=0$必经过点$(x_0，y_0)$，

④若曲线$F_1(x，y)+\lambda \cdot F_2(x，y)=0$必经过点$(x_0，y_0)$，则定点坐标由方程组 { F 1 ( x ， y ) = 0 F 2 ( x ， y ) = 0 {F1(x，y)=0F2(x，y)=0

{F1​(x，y)=0F2​(x，y)=0​求解得到。

⑤圆锥曲线的焦点弦？待思考。

⑥证明直线经过某个定点(2,1)，则直线的方程一定可以转化为形如$y-1=m(x-2)$的形式，$m$一般为题目中给定的参变量。

高阶储备

函数与导数题型中的函数恒过定点问题，更值得学有余力的同学关注，因为题目中的函数往往是我们自己主动变形后构造的，等吃力的构造好函数，我们一般也就没有精力注意恒过定点问题了。其实此时涉及到的函数往往是上述的简单函数的代数和，而且大多情形下，参与代数和的几个函数都是零点相同的，比如函数$g(x)=lnx+1-x$，我们可以认为其由函数$y_1=lnx$和函数$y_2=1-x$相加得到，两个子函数的零点都是$x=1$，故我们应该很容易看出来$g(1)=0$；

• 再比如函数$g(x)=ln(x-1)+2-x$，我们应该看出来$g(2)=0$；
• 再比如已知$\lambda (x-1)-2lnx\ge 0$对任意$x\in (0，1]$恒成立，若令$h(x)=\lambda (x-1)-2lnx$，你就应该看出来$h(1)=0$；
• 再比如函数$h(t)=2e^{t-\frac{1}{2}}-\frac{1}{t}$，则$h(\frac{1}{2})=0$；
• 再比如函数$f(x)=e^{x-1}-lnx-1$，则有$f(1)=0$；
• 再比如函数$f(x)=2x+1+e^{x+1}$，则有$f(-1)=0$；
• 再比如函数$g(x)=16x^3+{\log }_2(\frac{1}{2}x)$，则有$g(\frac{1}{2})=0$；

典例剖析

曲线$x^2+\lambda y^2=1(\lambda \ne 0)$恒过定点_________。$(\pm 1，0)$

法1：从数的角度思考分析，类比$y=kx+1$恒过定点$(0，1)$的方法思路，令$y=0$，得到$x^2=1$，故上述曲线恒过定点$(\pm 1，0)$;

法2：从形的角度思考分析，变形得到$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{\lambda }}=1$，用动态的观点思考，当$\lambda$变化时，椭圆或者双曲线与$x$轴的交点坐标$(-1，0)$和$(1，0)$始终不变，故曲线恒过定点$(\pm 1，0)$;

【2019石家庄模拟】若函数$y=f(x)$的图像恒过点$(1,1)$，则函数$y=f(4-x)$的图像一定经过点_______。

法1：从形入手分析，将函数$y$$=$$f(x)$的图像关于$y$轴对称得到函数$y$$=$$f(-x)$，故$y$$=$$f(-x)$一定经过点$(-1,1)$，再将函数$y$$=$$f(-x)$的图像向右平移$4$个单位，得到函数$y$$=$$f(4-x)$的图像，故函数$y$$=$$f(4-x)$的图像一定经过点$(3,1)$.

法2：从数入手分析，由题目可知，$f(1)$$=$$1$，故对函数$y$$=$$f(4-x)$而言，令$x$$=$$3$，则有$f(4-3)$$=$$f(1)$$=$$1$，故函数$y$$=$$f(4-x)$的图像一定经过点$(3,1)$.

【2022届高三数学模拟】已知幂函数 $g(x)=(2a-1)x^{a+1}$ 的图象过函数 $f(x)=m^{x-b}-\frac{1}{2}$($m>0$， 且 $m\ne 1)$ 的图象所经过的定点， 则 $b$ 的值等于【 \qquad 】

$A.\pm\cfrac{1}{2}$ $B.\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}$ $C.2$ $D.\pm2$

解析： 由 $g(x)=(2a-1)x^{a+1}$ 为幂函数， 得 $2a-1=1$， 解得 $a=1$， 所以 $g(x)=x^2$，

又函数 $f(x)=m^{x-b}-\frac{1}{2}$ ($m>0$, 且 $m\ne 1)$， 当 $x=b$ 时， $f(b)=m^{b-b}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，

故 $f(x)$ 的图象所经过的定点为 $(b,\frac{1}{2})$， 所以 $g(b)=\frac{1}{2}$， 即 $b^2=\frac{1}{2}$, 解得 $b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$， 故选 $B$ .

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