【数学计算】点乘/点积/内积/数量积/叉乘/外积/叉积/向量积

时间：2024-11-14 07:14:26
序言
  • 区分一下这几个概念
1. 点乘
  • 点乘 = 点积 = 内积 = 数量积
  • dot product = inner product = scalar product
  • a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) a =(x1​,y1​,z1​)， b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) b =(x2​,y2​,z2​)
  • 从代数角度看，点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积

a ⃗ ∙ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \vec{a}\bullet \vec{b} = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} a ∙b =x1​x2​+y1​y2​+z1​z2​

  • 点乘的几何意义：向量b在向量a方向上的投影与向量a的模的乘积，用来表征或计算两个向量间的夹角，表征两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似

a ⃗ ∙ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec{a}\bullet \vec{b} = \left | \vec{a} \right | \left | \vec{b} \right | \cos \theta a ∙b =∣a ∣ ​b ​cosθ

  • 基于点乘结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系：

       点乘 > 0：向量夹角在0~90°之间
   点乘 = 0：正交，相互垂直
   点乘 < 0：夹角在90~180°之间
    • 1
    • 2
    • 3

  • 公式推导

    1. 向量c = a - b
2. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(theta)
3. (a - b) ▪ (a - b) = a^2 + b^2 – 2a▪b = a^2 + b^2 - 2abcos(theta)
    • 1
    • 2
    • 3
2. 叉乘

  • 叉乘 = 叉积 = 外积 = 向量积

  • cross product = outer product

  • a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) a =(x1​,y1​,z1​)， b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2}) b =(x2​,y2​,z2​)

  • 从代数角度计算：

    a ⃗ × b ⃗ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) \vec{a}\times \vec{b} = (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}), x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}) a ×b =(y1​z2​−y2​z1​,−(x1​z2​−x2​z1​),x1​y2​−x2​y1​)

  • 从几何角度计算

    • 其中 i ⃗ \vec{i} i 、 j ⃗ \vec{j} j ​、 k ⃗ \vec{k} k 分别是x轴、y轴、z轴方向的单位向量
    • 当 z 1 z_{1} z1​、 z 2 z_{2} z2​等于0的时候，即得到二维向量叉乘的结果

a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i ⃗ − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j ⃗ + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k ⃗ \vec{a}\times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{vmatrix} = (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\vec{k} a ×b = ​i x1​x2​​j ​y1​y2​​k z1​z2​​ ​=(y1​z2​−y2​z1​)i −(x1​z2​−x2​z1​)j ​+(x1​y2​−x2​y1​)k

  • 叉乘的几何意义：

    • 二维向量叉乘：向量a和向量b的叉乘表示向量a和b构成的平行四边形的面积
    • 二维向量叉乘：如果a或b其中一个为单位向量，则axb叉乘结果表示以单位向量为底的平行四边形的高，可以有正负
    • 三维向量叉乘：向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，该向量垂直于向量a和b组成的平面，即平面的法向量，方向遵守右手定则

  • 叉积有一个非常重要的性质，可通过叉积的符号来判断两向量的顺逆时针关系

    P x Q > 0, 则向量P在向量Q的顺时针方向；
P x Q < 0, 则向量P在向量Q的逆时针方向；
P x Q = 0，表示P与Q共线，可能同向也可能反向
    • 1
    • 2
    • 3
3. 点乘 vs 叉乘，对比与应用
  • 点乘的结果是标量(常用于物理)/数量(常用于数学)，可以用来计算夹角和投影
  • 叉乘的结果是矢量(常用于物理)/向量(常用于数学)，法向量的模大小为 ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ \left | a \right | \left | b \right | \sin \theta ∣a∣∣b∣sinθ，方向遵守右手定则
  • 在二维空间中，叉乘结果等于向量a和b构成的平行四边形的面积，平行四边形的面积：以 ∣ b ∣ sin ⁡ θ \left | b \right | \sin \theta ∣b∣sinθ为高，以 ∣ a ∣ \left | a \right | ∣a∣为底。当a是单位向量时，计算b的终点到a所在直线的距离，也就是平行四边形的高
  • 通过向量的叉乘生成垂直于向量a/b的法向量，从而构建XYZ坐标系
  • 叉乘的结果再点乘可以用来判断向量/线段是否相交，即"跨立实验"，见文章判断两条线段是否相交

 

《参考文章》

点乘叉乘及其几何意义
点乘叉乘的概念与几何意义
向量的顺逆时针关系

created by shuaixio, 2022.12.27

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