离散数学
代数系统
同态映射：
定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统， f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称 f 是V1到V2的同态映射，简称同态.
同态分类：
- 如果f是单射，则称为单同态
- 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2
- 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2
- 如果V1 = V2，则称作自同态
同态映射的判别和证明：
说明：设有代数系统V1=<A,∘>和V2=<B,∗>，判别或证明同态映射的方法
• 先判断（或证明）f 是A到B的映射 f: A→B. 如果已知 f: A→B ，则这步判断可以省去
• ∀x, y ∈A, 验证 f(x∘y) = f(x) ∗ f(y)
• 判断同态性质只需判断函数的单射、满射、双射即可
说明：代数系统<X,∘ > 和<Y, ∗ >同构的条件：
• X和Y的基数相同
• 运算和∗是同类型的
• 存在双射 f: X→Y，且满足同构关系
代数系统间的同构关系是等价关系
-
同构有自反性：
任何代数系统<X, ∘ > , 有X ≅ X。
证： 因为有双射 IX:X→X, 任取x1 ,x2∈X，有 IX(x1 ∘ x2)= x1 ∘ x2=IX(x1) ∘ IX(x2) 所以 X ≅ X。 -
.同构有对称性：
任何代数系统<X, ∘ > <Y, ∗ >, 如果有X ≅ Y 则必有Y ≅ X。 -
同构有传递性：
任何代数系统<X, ∘ > <Y, ∗ >,<Z, • > 如果有X ≅ Y 和 Y ≅ Z，则必有 X ≅ Z 。
同态映射的“保持运算”性质
定理：给定<X，∘ ，∗ > ∼ <Y，⊕，⊗>且f为其满同态映射，则
- 如果∘和∗满足结合律，则⊕和⊗也满足结合律
- 如果∘和∗满足交换律，则⊕和⊗也满足交换律
- 如果∘对于∗（或∗ 对于∘）满足分配律，则⊕对于⊗（或⊗对于⊕）也满足分配律
- 如果∘和∗满足吸收律，则⊕和⊗也满足吸收律
- 如果∘和∗满足幂等律，则⊕和⊗也满足幂等律
- 如果e1和e2分别是关于∘和∗的幺元，则f(e1)和f(e2)分别为关于⊕和⊗的幺元
- 如果θ1和θ2分别是关于∘和∗的零元，则f(θ1)和f(θ2)分别为关于⊕和⊗的零元
- 如果对每个x∈X均存在关于∘的逆元x-1，则对每个f(x)∈Y也均存在关于⊕的逆元f(x-1)
- 如果对每个z∈X均存在关于∗ 的逆元z-1，则对每个f(z)∈Y也均存在关于⊗的逆元f(z-1)