前面理解了S4模型，但是对于具体的优化算法，还是没有完全理解透彻。现在补充学习。
S4 = SSM + HiPPO + Structured Matrices
具体方案：Structured State Spaces (S4)
简单总结：用HiPPO-LegS的矩阵形式初始化SSM，解决训练的稳定性问题。但是，基于卷积的并行化训练，依然处理复杂度很高，需要简化。
对角化
如何简化计算？最直接的思维就是矩阵A的对角化。前面的公式5的卷积形式，矩阵A的L次幂，如果是对角矩阵，计算就可以大大简化。
文章3.1节，给出了这种对角化动机的目的。
但是文章接着说，不幸的是，由于数值问题，对角化的简单应用在实践中不可行。尽管有其他方法，数值上也不稳定。
为什么数值不稳定，简单看一下，以N=3为例，对角化的结果是：
“HiPPO 矩阵的对角化涉及到的矩阵元素在状态大小 N 增大时会呈指数级增长，这使得对角化在数值上变得不稳定和不可行”。
那怎么办，3.2节给出方法：将HiPPO 矩阵A分解为正态矩阵和低秩矩阵的和。这样处理后获得了一个反对称矩阵，“重点来了，反对称矩阵不单单一定可以对角化，它一定可以被正交矩阵（复数域叫做酉矩阵）对角化！酉矩阵一般数值稳定性都非常好”。
S4 Parameterization: Normal Plus Low-Rank
前面的讨论意味着我们应该进行共轭计算通过条件良好的矩阵 V 。理想的情况是，当矩阵 A 可由完全条件（即酉）矩阵对角化时。根据线性代数的谱定理，这正是normal矩阵的一类。然而，这类矩阵具有限制性；特别是它不包括HiPPO 矩阵(2)。
我们观察到，尽管 HiPPO 矩阵不是normal矩阵，但它可以被分解为normal和低秩矩阵的和。然而，这本身仍然没有用：与对角矩阵不同，对这个幂进行累加（在（5）中）仍然很慢，也不容易优化。我们通过同时应用三种新技术克服了这一瓶颈。
上面的描述还是有点抽象，分步骤来看：
矩阵A分解为Normal Plus Low-Rank (NPLR)形式
上面说的公式（2）就是下面的LegS形式，对于的低秩r=1
论文中在附录C.1NPLR Representations of HiPPO Matrices进行了说明。
已知 HiPPO 矩阵A可以表示为：
“重点来了，可以看到这是一个反对称矩阵，所以它一定可以（在复数域中）对角化！于是我们就将A分解为了可对角化矩阵与低秩矩阵之和！可能有读者质疑，原本 A就 一定是可对角化矩阵，但还是有数值稳定性问题，难道这个反对称矩阵的对角化不用担心数值稳定性问题吗？
重点的重点来了，反对称矩阵不单单一定可以对角化，它一定可以被正交矩阵（复数域叫做酉矩阵）对角化！酉矩阵一般数值稳定性都非常好，所以不用担心这个问题，这也就是为什么我们不直接对角化 ，而绕一圈来构建反对称矩阵的原因。”
这样就将矩阵A转换为了正规矩阵+低秩矩阵的形式。
但是，论文中指出：然而，这本身仍然没有用：与对角矩阵不同，对这个幂进行累加（在（5）中）仍然很慢，也不容易优化。
公式5见下面：
生成函数
论文中指出，利用截断的生成函数！
这里的生成函数如何理解？熟悉卷积运算的就知道，卷积运算计算量大，可以先做FFT，在频域变成乘法，然后IFFT。这是利用FFT的简化卷积运算经常使用的方法。只不过，这里傅立叶变换所需要的实际是“截断生成函数”，将无限长度截断为L。
直观地说，生成函数基本上将SSM卷积滤波器从时域转换为频域。重要的是，它保留了相同的信息，并且可以从其生成函数的评估中恢复所需的SSM卷积滤波器。
这样 就把矩阵的幂的问题转化为矩阵求逆。
Woodbury Correction
然后，通过Woodbury恒等式来解决低秩问题。
虽然DPLR矩阵由于低秩项而不能有效地求幂，但它们可以通过众所周知的Woodbury恒等式有效地反转。
有了这个Woodbury恒等式，我们可以将DPLR矩阵A上的SSM生成函数转换为仅在其对角分量上的生成函数。
Cauchy Kernel
柯西矩阵计算是数值分析中一个研究得非常好的问题，有快速算法和基于著名的快速多极方法（FMM）的快速数值算法。
下面的卷积核的计算，第2、3步骤就是计算Lemma C.3中的K(z)
然后又因为截断为L长度的生成函数，需要下面的第4、5步骤。
具体第三章涉及的公式推导，可以参见苏神在文章《重温状态空间模型SSM：HiPPO的高效计算（S4）》中的详细推导。
S4模型的处理示意图
在S5的论文中，给出了S4模型的处理示意图。