【机器学习】代价函数，损失函数，目标函数区别

首先给出结论：

损失函数（Loss Function ）是定义在单个样本上的，算的是一个样本的误差。

代价函数（Cost Function ）是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。

目标函数（Object Function）定义为：最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险（也就是Cost Function + 正则化项）。

关于目标函数和代价函数的区别还有一种通俗的区别：

目标函数是最大化或者最小化，而代价函数是最小化

举个例子解释一下:（图片来自Andrew Ng Machine Learning公开课视频）

上面三个图的函数依次为 $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ , $f_{3}(x)$ 。我们是想用这三个函数分别来拟合Price，Price的真实值记为。

我们给定，这三个函数都会输出一个 f(X) ,这个输出的 f(X) 与真实值可能是相同的，也可能是不同的，为了表示我们拟合的好坏，我们就用一个函数来度量拟合的程度，比如：

L(Y,f(X)) = (Y-f(X))^2 ，这个函数就称为损失函数(loss function)，或者叫代价函数(cost function)（有的地方将损失函数和代价函数没有细分也就是两者等同的）。损失函数越小，就代表模型拟合的越好。

那是不是我们的目标就只是让loss function越小越好呢？还不是。

这个时候还有一个概念叫风险函数(risk function)。风险函数是损失函数的期望，这是由于我们输入输出的 (X,Y) 遵循一个联合分布，但是这个联合分布是未知的，所以无法计算。但是我们是有历史数据的，就是我们的训练集， f(X) 关于训练集的平均损失称作经验风险(empirical risk)，即 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ ，所以我们的目标就是最小化 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ ，称为经验风险最小化。

到这里完了吗？还没有。

如果到这一步就完了的话，那我们看上面的图，那肯定是最右面的 f_3(x) 的经验风险函数最小了，因为它对历史的数据拟合的最好嘛。但是我们从图上来看 f_3(x) 肯定不是最好的，因为它过度学习历史数据，导致它在真正预测时效果会很不好，这种情况称为过拟合(over-fitting)。

为什么会造成这种结果？大白话说就是它的函数太复杂了，都有四次方了，这就引出了下面的概念，我们不仅要让经验风险尽量小，还要让结构风险尽量小。。这个时候就定义了一个函数 J(f) ，这个函数专门用来度量模型的复杂度，在机器学习中也叫正则化(regularization)。常用的有 L_1 , L_2 范数。

到这一步我们就可以说我们最终的优化函数是： $min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))+\lambda J(f)$ ，即最优化经验风险和结构风险，而这个函数就被称为目标函数。

结合上面的例子来分析：最左面的 f_1(x) 结构风险最小（模型结构最简单），但是经验风险最大（对历史数据拟合的最差）；最右面的 f_3(x) 经验风险最小（对历史数据拟合的最好），但是结构风险最大（模型结构最复杂）;而 f_2(x) 达到了二者的良好平衡，最适合用来预测未知数据集。

二：详解代价函数

什么是代价函数

假设有训练样本(x, y)，模型为h，参数为θ。h(θ) = θ^Tx（θ^T表示θ的转置）。

（1）概况来讲，任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质：

对于每种算法来说，代价函数不是唯一的；
代价函数是参数θ的函数；
总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y)；
J(θ)是一个标量；

（2）当我们确定了模型h，后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。那么什么时候模型的训练才能结束呢？这时候也涉及到代价函数，由于代价函数是用来衡量模型好坏的，我们的目标当然是得到最好的模型（也就是最符合训练样本(x, y)的模型）。因此训练参数的过程就是不断改变θ，从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下，当我们取到代价函数J的最小值时，就得到了最优的参数θ，记为：

min θ J (θ)

例如，J(θ) = 0，表示我们的模型完美的拟合了观察的数据，没有任何误差。

（3）在优化参数θ的过程中，最常用的方法是梯度下降，这里的梯度就是代价函数J(θ)对θ₁, θ₂, ..., θ_n的偏导数。由于需要求偏导，我们可以得到另一个关于代价函数的性质：

选择代价函数时，最好挑选对参数θ可微的函数（全微分存在，偏导数一定存在）

代价函数的常见形式

经过上面的描述，一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求：能够评价模型的准确性，对参数θ可微。

（1）在线性回归中，最常用的是均方误差(Mean squared error)，即

J (θ 0, θ 1) = 1 2 m \sum i = 1 m ( y ^ ( i ) - y (

m：训练样本的个数；

h_θ(x)：用参数θ和x预测出来的y值；

y：原训练样本中的y值，也就是标准答案

上角标(i)：第i个样本

（2）在逻辑回归中，最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy)，交叉熵是一个常见的代价函数，在神经网络中也会用到。

回到线性回归模型中，训练集和代价函数如下图

如果我们还用J(θ)函数做为逻辑回归模型的代价函数，用H(x) = g(θ^T * x)，曲线如下图所示

发现J(θ)的曲线图是"非凸函数"，存在多个局部最小值，不利于我们求解全局最小值

因此，上述的代价函数对于逻辑回归是不可行的，我们需要其他形式的代价函数来保证逻辑回归的代价函数是凸函数。

这里我们先对线性回归模型中的代价函数J(θ)进行简单的改写

用Cost(h(x), y) = 1/2(h(x) - y)^2 代替

在这里我们选择对数似然损失函数做为逻辑回归模型的代价函数，Cost函数可以表示如下

分析下这个代价函数

(1). 当y=1的时候，Cost(h(x), y) = -log(h(x))。h(x)的值域0~1，-log(h(x))的曲线图，如下

从图中可以看出

h(x)的值趋近于1的时候，代价函数的值越小趋近于0，也就是说预测的值h(x)和训练集结果y=1越接近，预测错误的代价越来越接近于0，分类结果为1的概率为1
当h(x)的值趋近于0的时候，代价函数的值无穷大，也就说预测的值h(x)和训练集结果y=1越相反，预测错误的代价越来越趋于无穷大，分类结果为1的概率为0

(2). 当y=0的时候， Cost(h(x), y) = -log(1-h(x))。h(x)的值域0~1，-log(1-h(x))的曲线图，如下

从图中可以看出

h(x)的值趋近于1的时候，代价函数的值趋于无穷大，也就是说预测的值h(x)和训练集结果y=0越相反，预测错误的代价越来越趋于无穷大，分类结果为0的概率为1-h(x)等于0
当h(x)的值趋近于0的时候，代价函数的值越小趋近于0，也就说预测的值h(x)和训练集结果y=0越接近，预测错误的代价越来越接近于0，分类结果为0的概率为1-h(x)等于1

为了统一表示，可以把Cost(h(x), y)表达成统一的式子，根据前面J(θ)的定义，J(θ)等于

特别说明:

1. 当y=1的时候，第二项(1-y)log(1-h(x))等于0

2. 当y=0的时候，ylog(h(x))等于0

从上面2点可以看出，J(θ)表达式符合前面定义

根据线性回归求代价函数的方法，可以用梯度下降算法求解参数θ

从上图可以看出，θj更新和线性回归中梯度下降算法的θj更新一致，差别的是假设函数h(x)不同

J (θ) = - 1 m [ \sum i = 1 m ( y ( i ) log h θ ( x ( i ) ) + (

符号说明同上

（3）学习过神经网络后，发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例（没有隐藏层的神经网络）。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似：

J (θ) = - 1 m [ \sum i = 1 m \sum k = 1 K ( y ( i ) k log h θ

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