中值定理
罗尔中值定理
- f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 且 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
拉格朗日中值定理
- f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(\xi)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} f′(ξ)=b−af(b)−f(a)
- 拉格朗日余项 ∃ ξ \exists \xi ∃ξ, f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)=f(a)+f'(\xi)(b-a) f(b)=f(a)+f′(ξ)(b−a)
- 柯西余项 f ( b ) = f ( a ) + ( b − a ) ∫ 0 1 f ′ ( a + t ( b − a ) ) d t f(b)=f(a)+(b-a)\int_0^1 f'(a+t(b-a)) dt f(b)=f(a)+(b−a)∫01f′(a+t(b−a))dt
柯西中值定理
- f f f, g g g 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 区间上连续，
- 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可导,
- 则存在 ξ ∈ [ a , b ] \xi\in [a,b] ξ∈[a,b], f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
泰勒中值定理
- f f f 在 x 0 x_0 x0 的某个邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)上连续，
- 在 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 上 n n n 阶可导,
- 则存在
θ
∈
[
0
,
1
]
\theta\in [0,1]
θ∈[0,1],
z
θ
=
x
+
θ
(
y
−
x
)
z_\theta=x+\theta(y-x)
zθ=x+θ(y−x),
拉格朗日余项 f ( y ) = f ( x ) + f ′ ( x ) ( y − x ) + f ′ ′ ( x ) 2 ( y − x ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x ) n ! ( y − x ) n + f ( n + 1 ) ( z θ ) ( n + 1 ) ! ( y − x ) n + 1 f(y)= f(x) +f'(x)(y-x)+ \frac{f''(x)}{2}(y-x)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x)^n +\frac{f^{(n+1)}(z_\theta)}{(n+1)!}(y-x)^{n+1} f(y)=f(x)+f′(x)(y−x)+2f′′(x)(y−x)2+⋯+n!f(n)(x)(y−x)n+(n+1)!f(n+1)(zθ)(y−x)n+1 - 柯西余项
f
(
y
)
=
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
(
y
−
x
)
+
f
′
′
(
x
)
2
(
y
−
x
)
2
+
⋯
+
f
(
n
)
(
x
)
n
!
(
y
−
x
)
n
+
∫
0
1
f
(
n
+
1
)
(
z
θ
)
d
θ
(
n
+
1
)
!
(
y
−
x
)
n
+
1
f(y)= f(x) +f'(x)(y-x)+ \frac{f''(x)}{2}(y-x)^2+ \cdots+ \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(y-x)^n+\frac{\int_0^1 f^{(n+1)}(z_\theta)d \theta}{(n+1)!} (y-x)^{n+1}
f(y)=f(x)+f′(x)(y−x)+2f′′(x)(y−x)2+⋯+n!f(n)(x)(y−x)n+(n+1)!∫01