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1 平移变换
特点：函数的外形大小未发生改变，只是位置发生了改变
口诀：左加右减，上加下减
公式：
① y=f(x+m)，m＞0，是由y=f(x)的图像向左平移m个单位而得到
② y= f(x-m)，m＞0，是由y=f(x)的图像向右平移m个单位而得到
如下图所示左右平移变换：
③ y=f(x)+n，n＞0，是由y=f(x)的图像向上平移n个单位而得到
④ y=f(x)-n，n＞0，是由y=f(x)的图像向下平移n个单位而得到
如下图所示上下平移变换：
例题1. 已知f(x)=x2+7，将f(x)图像向左平移3个单位，求平移之后的函数表达式
解：
由于函数f(x)向左平移3个单位，即将x换成x+3
即平移之后的函数表达式为：
f(x)=(x+3)2+7，整理得：
f(x)=x2+6x+16
例题2. 已知函数f(x)=3-2x，将f(x)图像向右平移5个单位，求平移之后的函数表达式
解：
由于函数f(x)向右平移5个单位，即将x换成x-5
即平移之后的函数表达式为：
f(x)=3-2(x-5)
=3-2x+10
备注：当x前面的系数不为1时，进行左右平移时，需要先将系数提出来之后，再按照左右平移的口诀进行平移。
例题3. 已知函数f(x)=3x，将f(x)图像向上平移1个单位，求平移之后的函数表达式
解：
由于函数f(x)向上平移1个单位，即将f(x)换成f(x)+1
即平移之后的函数表达式为：
f(x)=3x+1
2 伸缩变换
特点：函数的外形发生了倍数级的伸缩改变
公式：
① 函数y=f(mx)，(m＞1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1/m倍。
② 函数y=f(mx)，(0＜m＜1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的1/m倍。
如下图所示横坐标伸缩变换：
③ 函数y=mf(x)，(m＞1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的m倍。
④ 函数y=mf(x)，(0＜m＜1)的图像是将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的m倍。
如下图所示纵坐标伸缩变换：
例题1. 已知函数f(x)=sin(2x+1)，将f(x)的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的1/2倍，求伸缩变换之后的函数表达式
解：
由于函数f(x) 纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的1/2倍，即将x换成2x
即平移之后的函数表达式为：
f(x)=sin[2(2x)+1]
=sin(4x+1)
例题2. 已知函数f(x)=lnx，将y=f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的3倍，求伸缩变换之后的函数表达式
解：
由于函数f(x) 的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的3倍
即将f(x)换成3f(x)
即平移之后的函数表达式为：
f(x)=3lnx
3 平移+伸缩变换组合
例题1. 已知f(x)=cos(-2x+3)，将f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，再将横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，最后将纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的1/3倍，求平移和伸缩变换之后的函数表达式
解：
①向左平移1个单位，
将x换成x+1，可得：
f(x)=cos[-2(x+1)+3]，整理得：
f(x)=cos(-2x+1)
②向下平移3个单位，
将f(x)换成f(x)-3，可得：
f(x)=cos(-2x+1)-3
③横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，
将f(x)换成2f(x)，可得：
f(x)=2cos(-2x+1)-6
④纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的1/3倍，
将x换成3x，可得：
f(x)=2cos[-2(3x)+1]-6整理得：
f(x)=2cos(-6x+1)-6
综上，经过平移和伸缩变换之后的函数表达式为：f(x)=2cos(-6x+1)-6
例题2：函数f(x)=lnx，经过怎样的平移和伸缩变换可得f(x)=2ln(3x+6)+2
解：
f(x)=lnx有两种方法经过平移和伸缩变换均可得到题目所求函数表达式
方法1：
①f(x)=lnx，将纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1/3，可得：
f(x)=ln3x
②将f(x)=ln3x，向左平移2个单位，可得：
f(x)=ln[3(x+2)]，整理得：
f(x)=ln(3x+6)
③将f(x)=ln(3x+6)，横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，可得：
f(x)=2ln(3x+6)
④将f(x)=2ln(3x+6)，向上平移2个单位，可得：
f(x)=2ln(3x+6)+2
方法2：
①f(x)=lnx，向左平移6个单位，可得：
f(x)=ln(x+6)
②将f(x)=ln(x+6)，将纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1/3，可得：
f(x)=ln[3x+6)]
③将f(x)=ln(3x+6)，横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，可得：
f(x)=2ln(3x+6)
④将f(x)=2ln(3x+6)，向上平移2个单位，可得：
f(x)=2ln(3x+6)+2
备注：要特别注意理解方法1跟2在平移跟伸缩变换中①②这两步的差异。
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