向量基础知识

向量表示：

一个向量记为:a⃗ =AB−→−；向量的长度称为馍,也叫做向量的范数，记做:|a⃗ | 一 个 向 量 记 为 : a → = A B → ； 向 量 的 长 度 称 为 馍 , 也 叫 做 向 量 的 范 数 ， 记 做 : | a → |

设a=（x,y）,b=(x’,y’).

一、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.　　a+b=(x+x′,y+y′).　　a+0=0+a=a. A B + B C = A C . 　 　 a + b = ( x + x ′ , y + y ′ ) . 　 　 a + 0 = 0 + a = a .

向量加法的运算律：
交换律；结合律:

a+b=b+a；　(a+b)+c=a+(b+c). a + b = b + a ； 　 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .

二、向量的减法

• 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
• 0的反向量为0
• AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
• a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y')

三、数乘向量

1.实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣

• 当λ＞0时,λa与a同方向；
• 当λ＜0时,λa与a反方向；
• 当λ=0时,λa=0,方向任意.
• 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
• 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.

2.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

• 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
• 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.

数与向量的乘法满足下面的运算律

• 结合律：
  (λa)⋅b=λ(a⋅b)=(a⋅λb) ( λ a ) · b = λ ( a · b ) = ( a · λ b )
• 向量对于数的分配律（第一分配律）：
  (λ+μ)a=λa+μa ( λ + μ ) a = λ a + μ a
• 数对于向量的分配律（第二分配律）：
  λ(a+b)=λa+λb λ ( a + b ) = λ a + λ b
• 数乘向量的消去律：
  ①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ ① 如 果 实 数 λ ≠ 0 且 λ a = λ b , 那 么 a = b ② 如 果 a ≠ 0 且 λ a = μ a , 那 么 λ = μ

四、向量的数量积

向量积可以被定义为：

定义：两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.
若a、b不共线,则

a⋅b=|a|⋅|b|⋅cos⟨a,b⟩ a · b = | a | · | b | · c o s 〈 a , b 〉

若a、b共线,则

a⋅b=+−∣a∣∣b∣ a · b = + − ∣ a ∣∣ b ∣

向量的数量积的坐标表示：

a⋅b=x⋅x′+y⋅y′ a · b = x · x ′ + y · y ′

.

向量的数量积的运算率

交换率:a⋅b=b⋅a 交 换 率 : a · b = b · a

分配率:（a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c 分 配 率 : （ a + b ) · c = a · c + b · c

向量的数量积的性质

a⋅a=|a|2. a · a = | a | 2 .

若a⊥b⟨=⟩a⋅b=0 若 a ⊥ b 〈 = 〉 a · b = 0

|a⋅b|≤|a|⋅|b| | a · b | ≤ | a | · | b |

坐标运算：

向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：

(a⋅b)2≠a2⋅b2 ( a · b ) 2 ≠ a 2 · b 2

2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、平行向量问题：

若a⃗ ||(平行符号)b⃗ 则a⃗ =λb⃗ 此时若a⃗ =(x1,y1),b⃗ =(x2,y2);则x1=λx2;y1=λy2;得出:x1x2=y1y2=λ;由此推出：x1∗y2=y1∗x2∗∗就是两个平行的向量坐标交叉相乘值相等∗∗ 若 a → | | ( 平 行 符 号 ) b → 则 a → = λ b → 此 时 若 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 ) ; 则 x 1 = λ x 2 ; y 1 = λ y 2 ; 得 出 : x 1 x 2 = y 1 y 2 = λ ; 由 此 推 出 ： x 1 ∗ y 2 = y 1 ∗ x 2 ∗ ∗ 就 是 两 个 平 行 的 向 量 坐 标 交 叉 相 乘 值 相 等 ∗ ∗

通过向量坐标的馍运算

垂直的情况

向量的夹角：

向量的投影：
由于 a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ ||b⃗ |cosα a → · b → = | a → | | b → | c o s α ，投影为： |a⃗ |cosα=a⃗ ⋅b⃗ |b⃗ | | a → | c o s α = a → · b → | b → | 其中 |a⃗ |cosα | a → | c o s α 为向量 a⃗  a → 在向量 b⃗  b → 上的投影

点到平面的距离：
最基本的公式：设AB,AC是两个向量,则 |AB∗AC||AB| | A B ∗ A C | | A B | （这里*表示点乘,或是内积）表示向量AC在方向AB上投影的长度
先说点到直线的距离.
在直线L上取两点A,B,设C为直线外一点,设C到AB的距离为d,CA在直线L上投影的长度为h,那么由勾股定理, h2+d2=|AC|2 h 2 + d 2 = | A C | 2 ,再把 h=|AB∗AC||AB| h = | A B ∗ A C | | A B | 代入即可
再说点到平面的距离,关键是要知道平面的法向量：
设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 A x + B y + C z + D = 0 ,则法向量 n⃗ =(A,B,C) n → = ( A , B , C )
设P为平面上的一点,Q为平面外的一点,那么Q到平面的距离就是向量PQ在法向量n方向上的投影,即 |n∗PQ||n| | n ∗ P Q | | n |
对于平面到平面的距离,首先两个平面要平行才有距离（只用看法向量是不是平行就可以了）,如果两个平面平行,在其中一个平面上任取一个点,求这一点到另一个平面的距离就是两个平面的距离.
对于直线到平面的距离,首先直线与平面平行才有距离（只要平面的法向量与直线的方向向量垂直就可以了）,如果平行,在直线上任取一点,求这一点到另一个平面的距离就是直线到平面的距离.
注意到,在建立了坐标系的情况下,向量的内积、求模长、判断平行与垂直就是有公式给出的,所以以上的讨论基本解决了用空间向量求距离的问题

参考链接：

图片来自：乐学堂【高中数学】平面向量 ——-侵权就删