Jensen不等式初步理解及证明

Jensen不等式（Jensen’s inequality）是以丹麦数学家Johan Jensen命名的，它在概率论、机器学习、测度论、统计物理等领域都有相关应用。

在机器学习领域，我目前接触到的是用Jensen不等式用来证明KL散度大于等于0（以后写一篇文章总结一下）。

Jensen不等式是和凸函数的定义是息息相关的。

首先介绍什么是凸函数(convec function)。

凸函数

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集 C（区间）上的实值函数 f，如果在其定义域 C 上的任意两点 $x_1,x_2$ ， $0\le t\le 1$ ，有

$$tf(x_1)+(1-t)f(x_2)\ge f(t{x}_1+(1-t)x_2)\text{\hspace{1em}(1)}$$

也就是说凸函数任意两点的割线位于函数图形上方， 这也是Jensen不等式的两点形式。

Jensen不等式

若对于任意点集 { x i } \{x_i\} {xi​}，若 ${\lambda }_i\ge 0$且 ${\sum }_i{\lambda }_i=1$ ，使用数学归纳法，可以证明凸函数 $f(x)$满足：

$$f(\sum _{i=1}^M{\lambda }_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^M{\lambda }_{i}f(x_i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

公式(2)被称为 Jensen 不等式，它是式(1)的泛化形式。

证明如下：

(1) 当$i=1，2$时，由凸函数的定义成立

(2) 假设当$i=M$时，公式(2)成立

(3) 现在证明则$i=M+1$时，Jensen不等式也成立：

$$\begin{array}{rl}f(\sum _{i=1}^{M+1}{\lambda }_i{x}_i)& =f({\lambda }_{M+1}{x}_{M+1}+\sum _{i=1}^M{\lambda }_i{x}_i)\\ & =f({\lambda }_{M+1}{x}_{M+1}+（1-{\lambda }_{M+1})\sum _{i=1}^M{\eta }_i{x}_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中

$${\eta }_i=\frac{{\lambda }_i}{1-{\lambda }_{M+1}}$$

由公式(1)的结论，公式(3)满足:

$$f(\sum _{i=1}^{M+1}{\lambda }_i{x}_i)\le {\lambda }_{M+1}f(x_{M+1})+(1-{\lambda }_{M+1})f(\sum _{i=1}^{M+1}{\eta }_i{x}_i))$$

注意到 ${\lambda }_i$满足:

$$\sum _{i=1}^{M+1}{\lambda }_i=1$$

因此：

$$\sum _{i=1}^M{\lambda }_i=1-{\lambda }_{M+1}$$

因此${\eta }_i$ 也满足：

$$\sum _i^M{\eta }_i=\frac{{\sum }_1^M{\lambda }_i}{1-{\lambda }_{M+1}}\text{\hspace{1em}(5)}$$

由公式(2)和(5)得到：

$$\sum _i^{M}f({\eta }_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^M{\eta }_{i}f(x_i)\text{\hspace{1em}(6)}$$

由(4)和(6)：

$$f(\sum _i^{M+1}{\lambda }_i{x}_i)\le {\lambda }_{M+1}f(x_{M+1})+(1-{\lambda }_{M+1})\sum _{i=1}^M{\eta }_{i}f(x_i)=\sum _{i=1}^{M+1}{\lambda }_{i}f(x_i)$$

因此$i=M+1$时，Jensen不等式也成立综上，Jensen不等式成立。

在概率论中，如果把${\lambda }_i$看成取值为 $x_i$ 的离散变量 $x$ 的概率分布，那么公式(2)就可以写成

$$f(E[x])\le E[f(x)]$$其中,$E[\cdot ]$表示期望。
对于连续变量，Jensen不等式给出了积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系：$$f(\int xp(x)dx)\le \int f(x)p(x)dx$$
参考文献：

• [1] PRML
• [2] wikipedia Jensen’s inequality

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