利用矩阵函数的导数公式求解一阶常系数微分方程组的解

时间：2024-11-04 07:14:52

考虑以下形式的线性常系数微分方程组：

\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A \mathbf{x},

其中，\mathbf{x}(t) 是 n×1 的状态向量，A 是 n×n 的常系数矩阵。

步骤

  1. 特征值和特征向量：求出矩阵 A 的特征值和特征向量。如果 A 是对角化的，那么可以将其对角化为 A = P D P^{-1}，其中 D 是一个对角矩阵，包含 A 的特征值，P 包含对应的特征向量。

  2. 一般解的形式：由于矩阵微分方程的解可以写成矩阵指数的形式，所以解为

    \mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0),

    其中，e^{At}表示矩阵 A 的指数。

  3. 计算矩阵指数 e^{At}： 对于对角化矩阵 A ，矩阵指数 e^{At}可以写成

    e^{At} = P e^{Dt} P^{-1},

    其中e^{Dt}是对角矩阵，每个元素为 e^{\lambda_i t}（\lambda_i 是 A 的特征值）。

  4. 解的求得：通过矩阵指数 e^{At} 和初始条件 x(0) 可以求得解 x(t) 。

 注：e^{At}的具体求法参考文章：求解矩阵函数值的方法

示例

假设有一个 2x2 的常系数矩阵微分方程：

\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

步骤 1：求矩阵 A 的特征值和特征向量

给定矩阵为：

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

  1. 求特征值：特征值 λ  满足 det⁡(A−λI)=0 。

    det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0

    解此方程得到特征值：

    \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1

  2. 求特征向量：

    对于 \lambda_1 = 3，我们解 (A - 3I)\mathbf{v} = 0：

    \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0

    这给出特征向量\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}。

    对于 \lambda_2 = 1，我们解 (A - I)\mathbf{v} = 0：

    \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0

    这给出特征向量 \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}。

因此，矩阵 A  的特征值和特征向量分别为：

\lambda_1 = 3, \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \lambda_2 = 1, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

步骤 2：写出矩阵 P 和对角矩阵 D 

将特征向量按列排成矩阵 P，则：

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

对角矩阵 D 包含特征值：

D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

步骤 3：计算矩阵指数 e^{At}

由于A = PDP^{-1}，所以

e^{At} = P e^{Dt} P^{-1}

首先，计算 e^{Dt}：

e^{Dt} = \begin{pmatrix} e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{t} \end{pmatrix}

然后求 P^{-1}：

P^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

因此，

Pe^{Dt} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{t} \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

进行矩阵乘法得到

e^{At} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{3t} + e^t & e^{3t} - e^t \\ e^{3t} - e^t & e^{3t} + e^t \end{pmatrix}

步骤 4：写出通解

假设初始条件为 \mathbf{x}(0) = \begin{pmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \end{pmatrix}，则解为

\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{3t} + e^t & e^{3t} - e^t \\ e^{3t} - e^t & e^{3t} + e^t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1(0) \\ x_2(0) \end{pmatrix}

结论

通过矩阵指数的方法，我们得到了该微分方程组的通解：

\mathbf{x}(t) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} (e^{3t} + e^t) x_1(0) + (e^{3t} - e^t) x_2(0) \\ (e^{3t} - e^t) x_1(0) + (e^{3t} + e^t) x_2(0) \end{pmatrix}

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