论文笔记--Goat: Fine-tuned LLaMA Outperforms GPT-4 on Arithmetic Tasks

adding：计算各子项之和。如上式结果求和为"23400 + 4680 + 1404 = 28080 + 1404 = 29484"即为最后结果（对应上表中可学习任务-Adding+Copying）.
  针对除法，多位数除以一位数的任务是可学习任务，现在我们考虑多位数除以多位数的任务。为此，我们通过慢除法来进行循环计算：$$R_j-D\times (q_{n-(j+1)}\times 10^j)=R_{j+1}$$，其中$n$表示被除数的位数，$R_j$表示上一轮的商，$q_{n-(j+1)}$表示模型需要计算的值，要满足$D\times q_{n-(j+1)}\times 10^j\le R_j$，$D$表示除数。上式迭代的终止条件为$R_{j+1}<D$。考虑8914/64，首先第一轮的$R_j=8914,D=64$，我们找到最大的可以使得$64\times q_{n-(j+1)}\times 10^j\le 8914$的$j$，得到$j=2$，对应的最大的$q=1$，即得到$$8914-64\times (1\times 10^2)=2514$$；接下来$R_j=2514\ge D$，则唏嘘找到最大的可以使得$64\times q_{n-(j+1)}\times 10^j\le 2514$的$j$，得到$j=1$，对应最大的$q=3$，即得到$$2514-64\times (3\times 10^1)=594$$；接下来$R_j=594\ge D$，则继续找到最大的可以使得$64\times q_{n-(j+1)}\times 10^j\le 594$的$j$，得到$j=0$，对应最大的$q=9$，即得到$$594-64\times (9\times 10^0)=18$$；最后$R_j<D=64$，终止判断。最后得到的商由上面所有的$q_{n-(j+1)}\times 10^j$组成，即$1\ast 10^2+3\ast 10^1+9\ast 10^0=139$（相当于split的反向操作），余数为剩下的$R_j=18$。注意到上述整个过程只采用了基本的可学习任务，包括Copyting, Subtraction, Comparison, Multiplication(nD*1D), 反向split。