常用分布的数学期望、方差、特征函数

时间：2024-10-17 07:20:30

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常用分布的数学期望&方差&特征函数
定义
- 事件域
- 概率
- 条件概率
- 随机变量
- 分布函数
- 连续随机变量的概率密度函数
- 数学期望
- - 离散随机变量
  - 连续随机变量
- 方差与标准差
- 最大似然估计
- 特征函数
不等式
- Chebyshev（切比雪夫）不等式

作者：小猪快跑

基础数学&计算数学，从事优化领域7年+，主要研究方向：MIP求解器、整数规划、随机规划、智能优化算法

常用离散分布（二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布）与连续分布（正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布、贝塔分布、t分布、F分布、拉普拉斯分布、卡方分布、韦伯分布）的数学期望、方差、特征函数

如有错误，欢迎指正。如有更好的算法，也欢迎交流！！！——@小猪快跑

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[1]茆诗松,周纪芗.概率论与数理统计 (第二版)[M].中国统计出版社,2000.

常用分布的数学期望&方差&特征函数

分布名称	概率分布或密度函数 $p (x)$	数学期望	方差	特征函数
单点分布	$\begin{array}{c}{p_{c}=1}\end{array}$ ( $c$ 为常数)	$c$	$0$	$e^{ict}$
$0 - 1$ 分布	$\begin{array}{c} p_{0}=1-p,p_{1}=p\\ (0<p<1)\end{array}$	$p$	$p (1 - p)$	$1-p+pe^{it}$
二项分布 $b (n, p)$	$p_{k}=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\k=0,1,2,\cdots,n\\(0<p<1)$	$n p$	$n p (1 - p)$	$1-p+pe^{it})^{n}$
泊松分布 $P(\lambda)$	$p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-k}\\k=0,1,2,\cdots;(\lambda>0)$	$\lambda$	$\lambda$	$e^{\lambda(e^{it}-1)}$
超几何分布 $h (n, N, M)$	$p_{k}=\frac{\displaystyle\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\displaystyle\binom{N}{n}}\\M\leqslant N,n\leqslant N,M,N,n\text{ 正整数,}\\k=0,1,2,\cdots,\min(M,N)$	$n\displaystyle\frac MN$	$\displaystyle\frac{nM}N(1-\frac MN)\frac{N-n}{N-1}$	$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{\displaystyle\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\displaystyle\binom Nn}e^{itk}$
几何分布 $G e (p)$