定理：设S₁,S₂分别是G关于子群H的左、右陪集分解，则|S₁| = |S₂|。
证：只需证明S₁和S₂之间存在双射即可。
①定义：φ(a o H) = H o a^(-1)，（S₁→S₂），设a o H = b o H，则a^(-1) o b∈H，
由H o a^(-1) = H o b^(-1)可推出φ(a o H) = φ(b o H)，
显然对任意的a o H∈S₁，存在唯一的H o a^(-1)∈S₂，使得φ(a o H) = H o a^(-1)，
所以φ是映射。
②对任意的H o a∈S₂，存在a^(-1) o H∈S₁，使得φ(a^(-1) o H) = H o [a^(-1)]^(-1) = H o a，
因此φ是满射。
③对任意的a o H,b o H∈S₁，若φ(a o H) = φ(b o H)，则有H o a^(-1) = H o b^(-1)，从而a^(-1) o [b^(-1)]^(-1) = a^(-1) o b∈H，从而有a o H = b o H，
因此φ是单射。
综上所述，φ是从S₁到S₂的一个一一映射。
所以可得|S₁| = |S₂|。
定义
设H≤G，S₁,S₂分别为G关于H的左右陪集分解，称|S₁| = |S₂|为H在G中的指数，记为[G:H]。
拉格朗日定理
G是有限群，H≤G，则[G:H] = |G|/|H|，从而|G| = |H|·[G:H]，即|H|、[G:H]均整除|G|。
证：设|G| = n，|H| = m，[G:H] = k，
[G:H]表示G由k个互不相交的左陪集组成；
又|a o H| = |H|，
所以这些左陪集每一个都恰好包含m个元素，
所以G中一共有km个元素，即n = km，
即|G| = |H|·[G:H]。
推论
设G是有限群，a∈G，则|a|整除|G|。
证：设|a| = m，a可生成G的一个m阶循环子群(a) = H，
而|a| = |H| = m，
因为|H|整除|G|，所以|a|整除|G|。
例1：写出K₄,Z₄的子群。
（1）K₄（克莱因四元群）= {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，其子群有平凡子群{(1)}和K₄，非平凡子群((12)(34))(={(1),(12)(34)}),((13)(24))(={(1),(13)(24)})，((14)(23))(={(1),(14)(23)})和{(1),(12)(34),(13)(24)}。
（2）Z₄（模4的剩余类加群）= {[0],[1],[2],[3]}，其子群有平凡子群{[0]}和Z₄，非平凡子群（[2]）。
例2：证明，素数阶群必定是循环群。
证：设G是一个群，G的阶|G| = p是素数，
因为p≥2，所以G中至少有2个元素，不妨设a∈G，且a≠e，可推出|a|≥2，
由拉格朗日定理的推论可知，|a|整除|G| = p，又因为p是素数，所以|a| = 1或p，
因为|a|≥2，所以|a| = p = |G|，
所以G是循环群。
（待续……）