《数值计算方法》丁丽娟-数值实验作业-第二章（MATLAB）
作业P58: 1 ，2，3，6，8(1), 12, 13
数值实验P61: 2, 3
数值实验（第二章）
代码仓库：https://github.com/sylvanding/bit-numerical-analysis-hw
P61. 2
试用MATLAB软件编程实现追赶法求解三对角方程组的算法，并考虑如下梯形电阻电路问题：
其中电路中的各个电流
{
i
1
,
i
2
,
…
,
i
8
}
\{i_1, i_2, \dots, i_8\}
{i1,i2,…,i8}满足下列线性方程组：
2
i
1
−
2
i
2
=
V
/
R
−
2
i
1
+
5
i
2
−
2
i
3
=
0
−
2
i
2
+
5
i
3
−
2
i
4
=
0
−
2
i
3
+
5
i
4
−
2
i
5
=
0
−
2
i
4
+
5
i
5
−
2
i
6
=
0
−
2
i
5
+
5
i
6
−
2
i
7
=
0
−
2
i
6
+
5
i
7
−
2
i
8
=
0
−
2
i
7
+
5
i
8
=
0
\begin{aligned} 2 i_1-2 i_2 &=V / R \\ -2 i_1+5 i_2-2 i_3&=0 \\ -2 i_2+5 i_3-2 i_4&=0 \\ -2 i_3+5 i_4-2 i_5&=0 \\ -2 i_4+5 i_5-2 i_6&=0 \\ -2 i_5+5 i_6-2 i_7&=0 \\ -2 i_6+5 i_7-2 i_8&=0 \\ -2 i_7+5 i_8&=0 \end{aligned}
2i1−2i2−2i1+5i2−2i3−2i2+5i3−2i4−2i3+5i4−2i5−2i4+5i5−2i6−2i5+5i6−2i7−2i6+5i7−2i8−2i7+5i8=V/R=0=0=0=0=0=0=0
设
V
=
220
V
,
R
=
27
Ω
V=220\text{V}, R=27\Omega
V=220V,R=27Ω，求各段电路的电流量。
实验内容、步骤及结果
chap-2\thomas_algorithm.m:
function x = thomas_algorithm(a, b, c, d)
% a: sub-diagonal (length n-1)
% b: main diagonal (length n)
% c: super-diagonal (length n-1)
% d: right-hand side (length n)
n = length(b);
% Forward elimination
for i = 2:n
w = a(i-1) / b(i-1);
b(i) = b(i) - w * c(i-1);
d(i) = d(i) - w * d(i-1);
end
% Back substitution
x = zeros(n, 1);
x(n) = d(n) / b(n);
for i = n-1:-1:1
x(i) = (d(i) - c(i) * x(i+1)) / b(i);
end
end
chap-2\Q2.m:
% Define input parameters
a = -2;
a = repmat(a, 1, 7);
b = [2, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5];
c = a;
V = 220;
R = 27;
d = [V/R, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];
% Call the function
x = thomas_algorithm(a, b, c, d);
% Display the output
disp(x);
实验结果分析
>> Q2
8.1478
4.0737
2.0365
1.0175
0.5073
0.2506
0.1194
0.0477
所求电阻输出如上。
P61. 3
方程组的性态和矩阵的条件数的实验。设有线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，其中系数矩阵 A = ( a i j ) n × n A=(a_{ij})_{n\times n} A=(aij)n×n的元素分别为 a i j = x i j − 1 ( x i = 1 + 0.1 i , i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{i j}=x_i^{j-1}\left(x_i=1+0.1 i, i, j=1,2, \cdots, n\right) aij=xij−1(xi=1+0.1i,i,j=1,2,⋯,n)或 a i j = 1 i + j − 1 ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{i j}=\frac{1}{i+j-1}(i, j=1,2, \cdots, n) aij=i+j−11(i,j=1,2,⋯,n)，右端向量 b = ( ∑ j = 1 n a 1 j , ∑ j = 1 n a 2 j , ⋯ , ∑ j = 1 n a n j ) T \boldsymbol{b}=\left(\sum_{j=1}^n a_{1 j}, \sum_{j=1}^n a_{2 j}, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{n j}\right)^{\mathrm{T}} b=(∑j=1na1j,∑j=1na2j,⋯,∑j=1nanj)T. 利用MATLAB中的库函数，
- 取 n = 5 , 10 , 20 n=5,10,20 n=5,10,20，分别求出系数矩阵的2-条件数，判别它们是否是病态阵？随着 n n n的增大，矩阵性态的变化如何？
- 分别取 n = 5 , 10 , 20 n=5,10,20 n=5,10,20，解上述两个线性方程组 A x = b Ax=b Ax