编者按：本文作者奇舞团前端开发工程师魏川凯。
A*搜索算法（A-star search algorithm）是一种常见且应用广泛的图搜索和寻径算法。A*搜索算法是通过使用启发式函数来指导寻路，从而高效的保证找到一条最优路径。A*搜索算法最初的设计是用来解决最短路径问题。但是，从理论来说A*可以解决大多数的成本代数问题。
A*搜索算法于1968年，由斯坦福研究院的Peter Hart，Nils Nilsson以及Bertram Raphael首次发表。
原理
A*搜索算法综合了最佳优先搜索算法（Best-first search）和Dijkstra算法的优点，通过一个成本估算函数来指导路径的搜索过程：f(n)=g(n)+h(n)
$n$：任意一个顶点
$g(n)$：表示起点到任意顶点$n$的实际成本
$h(n)$：是一种启发式函数，表示从任意顶点$n$到目标点的估算成本
在算法的每次迭代中，会从一个优先队列中取出$f(n)$值最小（估算成本最低）的节点作为下次待遍历的节点。这个优先队列通常称为open set。然后相应地更新其领域节点的$f(n)$和$g(n)$值，并将这些领域节点添加到优先队列中。最后把遍历过的节点放到一个集合中，称为close set。直到目标节点的$f(n)$值小于队列中的任何节点的$f(n)$值为止（或者说直到队列为空为止）。因为目标点的启发式函数$h(n)$值为0，所以说目标点的$f(n)$值就是最优路径的实际成本。
下面为A*搜索算法的主流程代码：
// heuristicFunction，启发式函数function aStar(start, goal, heuristicFunction) { // 带估算的节点集合，为一个优先队列，每次取f(n)值最小的节点 const openSet = new PriorityQueue() (start) // 初始只有起点 const closeSet = [] // 已被估算过的节点集合 const gScore = { [start]: 0 } // g(n)值 const hScore = { [start]: heuristicFunction(start, goal) } // h(n)值 const fScore = { [start]: hScore[start] } // f(n)值 const cameFrom = {} // 记录当前节点的上一个节点 while(!()) { const current = () if(current === goal) return reconstructPath(cameFrom, goal) // 当前节点为目标点，返回最佳路径 close_set.add(current) // neighborNodes，取出current节点的邻域节点 for(let neighbor of neighborNodes(current)) { if(close_set.includes(neighbor)) continue // 从起点到neighor的距离 const tentativeGScore = gScore[current] + distance(neighbor, current) if(!(neighbor) || tentativeGScore < gScore[neighbor]) { // 记录neighbor节点的前一个节点 cameFrom[neighbor] = current gScore[y] = tentativeGScore hScore[y] = heuristicFunction(neighbor, goal) fScore[y] = gScore[neighbor] + hScore[neighbor] (neighbor) } } }}function reconstructPath(cameFrom, current) { const bestPath = [current] while(cameFrom[current]) { current = cameFrom[current] (current) } return bestPath}
启发式函数
启发式函数作为A*搜索算法的核心，对算法的行为有着重大的影响，具体有以下几种情况：
当启发式函数$h(n)$始终为0时，则将由从起点到任意顶点n的距离$g(n)$决定，此时A*算法将等效于Dijkstra算法。此时，可以考虑初始化一个值非常大的全局计数器C，每次处理一个节点时，将C分配给它所有领域节点。每次分配后，再将计数器C减一。节点被发现的越早，其$h(x)$值就越高。从而实现深度优先遍历。
当$h(n)$始终小于等于顶点n到目标点的实际成本，则A*算法一定可以求出最优解。但是当$h(n)$的值越小，算法需要计算的节点越多，算法效率越低。
当$h(n)$完全等于顶点n到目标点的实际成本，则A*算法将以较快的速度找到最优解。可惜的是，并非所有场景下都能做到这一点。因为在没有达到目标点之前，我们很难确切算出距离目标点还有多远。
当$h(n)$大于顶点n到目标点的实际成本，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
当从起点到任意顶点n的实际成本$g(n)$等于0，或者$h(n)$值远远大于$g(n)$时，则只有h(n)起作用，此时算法演变成最佳优先搜索算法，速度最快，但可能得不出最优解。
可以看出，通过调节$h(n)$可以控制算法的精度和速度。一些情况下，我们未必要找到最佳路径，而是要高效的找出差不多好的路径，所以需要权衡，这个我们后面在讲。
二维网格地图中的启发式函数
在二维网格地图中，有如下几种常见的启发式函数：
如果允许朝四个方向移动，即上下左右，则可以使用曼哈顿距离（$L_1\,norm$）
如果允许朝八个方向移动，即增加了对角线方向，则可以使用切比雪夫距离（$L_\infty\,norm$）
如果允许朝任何方向移动，则可以使用欧几里得距离（$L_2\,norm$）
曼哈顿距离
曼哈顿距离（Manhattan distance）是指两点所形成的线段对坐标轴产生的投影的长度总和。在向量空间中又称为L1范数。在直角坐标系下，两点之间的曼哈顿距离为：d(x,y)=|x1−x2|+|y1−y2|
因此曼哈顿距离的启发式函数为：h(n)=D×(|n.x−goal.x|+|n.y−goal.y|)
切比雪夫距离
切比雪夫距离（Chebyshev distance）是指二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。在向量空间中又称为L∞范数。在直角坐标系下，两点之间的切比雪夫距离为：d(x,y)=max(|x1−x2|,|y1−y2|)
因此切比雪夫距离的启发式函数为：h(n)=D×max(|n.x−goal.x|,|n.y−goal.y|)
欧几里得距离
欧几里得距离（Euclidean distance）是指两点之间的直线距离。在向量空间中又称为L2范数。在直角坐标系下，两点之间的欧几里得距离为：d(x,y)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2
因此欧几里得距离的启发式函数为：h(n)=D×√(n.x−goal.x)2+(n.y−goal.y)2
松弛
前面的章节我们提到，通过调节$h(n)$可以控制算法的速度和精度，一些情况下，我们可以牺牲最优性，来加快搜索速度。这时候需要做一些松弛操作，以便我们求得相较于最优解(1+ε)倍的次优解。
静态加权。假设$h(n)$是一个启发式函数，我们可以用$h_w(n = ε \times h(n), ε > 1)$作为加权后的启发式函数，由于扩展了较少的节点，因此速度加快，找到的路径的误差最多是最小路径的ε倍。
-
动态加权。通过动态改变权重大小，从而控制搜索的速度，可以使用如下的启发式函数：f(n)=g(n)+(1+εω(n))h(n)
其中 -
w(n)是计算权重的函数，当前搜索深度较小时，会获得较大的权重，加快搜索速度：ω(n)={1−d(n)Nd(n)≤N 0otherwise
$d(n)$是搜索深度，$N$是最终路径的预期长度，ε是允许的误差范围。
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通过偏好离目标点最近的节点来加快深度遍历，以提高速度。使用如下的启发式函数：
$$ f\alpha(n)=(1+w\alpha(n))f(n) $$
其中
-
wα(n)是计算权重的函数
wα(n)={λg(π(n))≤g(˜n) Λotherwise
λ和Λ是$\lambda \leq \Lambda$的常量，$π(n)$是n的父节点，而ñ是要扩展的节点。
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参考连接
/wiki/A*_search_algorithm
/~amitp/GameProgramming/
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