数学建模——快递包裹装箱优化问题（2023年长三角数学建模A题问题一、问题二）

快递包裹装箱优化问题

2022 年，中国一年的包裹已经超过1000 亿件，占据了全球快递事务量的一半以上。近几年，中国每年新增包裹数量相当于美国整个国家一年的包裹数量，十年前中国还是物流成本最昂贵的国家，当前中国已经建立起全世界最强大、最先进的快递物流体系。

在包裹的打包环节，选取合适的包装耗材非常重要。由于包裹的基数大，因此每个包裹耗材成本的略微降低，也能带来极大的经济效益。图1 是一些纸箱实物样式，图2 是某种三维装箱示意图。

图1 纸箱样式图2 三维装箱示意图

附件1 的装箱数据中给出了订单数据和耗材数据。根据以上背景，请你们的团队完成以下问题：

问题1. 针对附件1装箱数据中给出的订单数据和耗材数据，对每个订单，分别用箱子或袋子去装，请设计出合适的装载方案，要求使用耗材数量越少越好，在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出每种耗材的使用总数和耗材总体积。

问题2. 针对附件1的数据，现在需要优化耗材的尺寸，请给出耗材尺寸的优化方案。要求优化后耗材的种数不变，只是改变耗材尺寸；对问题1中成功装载的物品，优化后的方案使用的箱子或袋子数尽量减少；总体积不能超过原方案的总体积；在耗材数量相同时，耗材总体积越小越好。给出优化后的每种耗材的具体尺寸、使用总数和耗材总体积。

提示：

1、需要分别给出箱装(全使用箱子作为耗材)、袋装(全使用袋子作为耗材)以及两种耗材同时使用的方案。

2、物品长宽高可以任意互换，如case1中第一种物品可看成长170、宽110、高27，也可看成长110、宽170、高27。

3、用袋子装物品时，能够装下的判定标准为同时满足如下两个条件：

袋子长+袋子高≥物品长+物品高；

袋子宽+袋子高≥物品宽+物品高。

4、在附件1装箱数据中，case序号相同的看作同一订单，同一订单的物品可以装在同一箱(袋)子里，不同订单的物品一定装在不同箱(袋)子里。

5、对附件1装箱数据中的某订单物品，若耗材无论如何不能装下，则不需要考虑该物品。

6、耗材的重量暂不考虑。

7、表1是订单表示例，表2是耗材信息表，更详细的数据见附件1。

表1 部分订单表（示例）

case	L（长）	W（宽）	H（高）	num
1	170	110	27	7
1	210	200	30	1
2	105	105	100	2
2	135	110	110	5
3	208	140	18	5
3	90	90	75	1
4	115	65	35	1
5	250	190	53	3
6	140	140	48	2
6	225	80	35	2
7	292	166	87	1
7	320	240	70	1
8	228	148	26	2

表2 耗材信息表

耗材名称	耗材类型	长	宽	高	重量
普通1号袋	袋	250	190	1	10
普通2号袋	袋	300	250	1	8
普通3号袋	袋	400	330	1	15
普通4号袋	袋	450	420	1	23
普通1号自营纸箱	箱	165	120	55	45
普通1号自营纸箱	箱	200	140	70	67
普通3号自营纸箱	箱	200	150	150	103
普通4号自营纸箱	箱	270	200	90	132
普通5号自营纸箱	箱	300	200	170	179

摘要

2022年快递行业的发展迅速，变革之年，成长可期，快递行业的迅速发展，也带来了一些关于这方面的问题，在包装快递时，如何做到让快递的打包环节能够做到减少耗材的浪费，是一个重要的问题，快递基数大，即使是对快递包装减少极小量，也能够带来巨大的经济效益，并且对于环保也有所助益，本文即是在研究快递在进行包装时如何能够取得最优方案。

针对问题一，借助MATLB对于矩阵函数处理的功能，我们先将订单以及包裹的包装导入到MATLAB的矩阵之中，然后根据题目中给出的包装条件，将物品的长、宽、高与耗材的长、宽、高进行对比，并进行枚举与递归，建立了以耗材消耗最小为目标的函数（见附录），运行后得到处理结果，并且通过多次递归得到最优解，得到耗材的最小数，对于全进行袋装和全进行箱装和箱装与袋装结合包装进行比对，得到包装的最优结果。最后列表展示部分包装耗材的表面积与体积，对比它们在包装上所耗的材料。

针对问题二，本题选用0-1整型规划模型，在问题一的基础上对包装的耗材进行修正它们的长、宽、高，并依次设出它们所对应的未知数，将包装进行分类，运用EXCEL的相关函数功能，算出各个包装在该范围下耗材最少时，各个包装所对应的长、宽、高（见表x-x），求解后得出相对应的耗材，并且对于修正过后的耗材与原先的耗材进行对比，得出节省的部分。

最后，我们通过比对，得出了袋装与箱装的区别以及二者在经过修正后的长、宽、高，这也让我们看出在对于订单的包装设计上，可以更加精确地设置，而不是选择取整包裹尺寸，造成耗材地浪费。通过本文，我们可以得到更加精确的包装设计，对于快递地包装来说，能够有效的节省材料，保护环境。

关键词：快递包装；整型规划；耗材；递归

问题一

问题一的分析

对于问题一，我们可以将其看作是一个一个具有多限制条件的目标函数，将包装耗材最小值看作我们的目标函数，将题目给出的条件看作是函数的限制条件。如袋装快递时，我们可以看出条件为：

袋子长+袋子高≥物品长+物品高；

袋子宽+袋子高≥物品宽+物品高。

对于箱装物品时，我们可以看作条件为：

箱子长≥物品长；

箱子宽≥物品宽；

箱子高≥物品高。

那么我们可以依次设物品的长、宽、高分别为a、b、c，而袋装和箱装时的长、宽、高分别为x、y、z，或是l、m、n，通过枚举或是遍历的方法将几者区分。

由于公式以及论文格式问题，我这伦理为了方便直接截图了我当时的论文问题一模型建立：

问题一模型的建立与求解：

使用EXCEL处理也是可以的，不过数据过大，负责数据处理的同学任务可能会有些大，所以还是建议负责数据处理的编程手同学可以在MATLAB上编写函数，但是代码也需要将数据放上去，跑代码时间可能会比较久。

这里是使用箱子时一部分MATLAB代码，省略了一部分订单数据，因为数据量比较大，可以根据自己的订单数据放上去，使用袋子时需要的代码也同理可得。

x1=xiangzi(:,1)+xiangzi(:,3)  
x2=dingdan(:,1)+dingdan(:,3)  
y1=xiangzi(:,2)+xiangzi(:,3)  
y2=dingdan(:,2)+dingdan(:,3)  

for i=1:1:10000
[m1,n1]=find(x1>=x2(i));  
[m2,n2]=find(y1>=y2(i));  
fangan=min(intersect(m1,m2)); 
w(i,:)={fangan};