【C++航海王：追寻罗杰的编程之路】关联式容器的底层结构——AVL树

目录

1 -> 底层结构

2 -> AVL树

2.1 -> AVL树的概念

2.2 -> AVL树节点的定义

2.3 -> AVL树的插入

2.4 -> AVL树的旋转

2.5 -> AVL树的验证

2.6 -> AVL树的性能

---

1 -> 底层结构

在上文中对对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

2 -> AVL树

2.1 -> AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序的二叉搜索树将退化成单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1(需要对树中的节点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索的长度。

一棵AVL树或者空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(n)，搜索时间复杂度O(n)。

2.2 -> AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子
};

2.3 -> AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点。
2. 调整节点的平衡因子。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

};

2.4 -> AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}
};

2. 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

实现参考右单旋。

3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	//1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋
	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}

	//3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋
	// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
	void _RotateLR(PNode pParent)
	{
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

		// 先对30进行左单旋
		_RotateL(pParent->_pLeft);

		// 再对90进行右单旋
		_RotateR(pParent);
		if (1 == bf)
			pSubL->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			pParent->_bf = 1;
	}

};

4. 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋。

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分为以下情况考虑：

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋。
• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左单旋。

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL。

• 当pSubL的平衡因子为-1时，执行右单旋。
• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右单旋。

旋转完成后，原pParent为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

2.5 -> AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为两步：

1. 验证其为二叉搜索树

        如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明其为二叉搜索树。

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)。
• 节点的平衡因子是否计算正确。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	//1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋
	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}

	//3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋
	// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
	void _RotateLR(PNode pParent)
	{
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

		// 先对30进行左单旋
		_RotateL(pParent->_pLeft);

		// 再对90进行右单旋
		_RotateR(pParent);
		if (1 == bf)
			pSubL->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			pParent->_bf = 1;
	}

	//验证是否为AVL树
	int _Height(PNode pRoot);
	bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == pRoot) return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
			return false;

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
	}

};

2.6 -> AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(n)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树。

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感谢各位大佬支持！！！

互三啦！！！