以下题目来自2024年5月清华大学“丘成桐数学科学领军计划数学水平考试”。第11题本人参考了网友Fiddie (数学兔的极大理想）的解答，原网址是 https://mp.weixin.qq.com/s/q9slRWL4iO_TcSdkmbfbbw.
第10题：在10维列向量构成的内积空间 V V V中，定义由向量 v v v引起的反射为 P v ( x ) = x − 2 ( x , v ) ( v , v ) v . P_v(x)=x-2\frac{(x,v)}{(v,v)}v. Pv(x)=x−2(v,v)(x,v)v. 今有向量 v , w ∈ V v, w\in V v,w∈V, 满足 0 < ( v , w ) < ( v , v ) ( w , w ) . 0< (v,w)<\sqrt{(v,v)\, (w,w)}. 0<(v,w)<(v,v)(w,w). 记 Q = P w ∘ P v Q=P_w \circ P_v Q=Pw∘Pv. 则所有满足 P ∘ Q = Q ∘ P P \circ Q = Q \circ P P∘Q=Q∘P的线性变换 P : V → V P: V \to V P:V→V构成的子空间的维数是多少？
解：依题意，向量 v , w v, w v,w线性无关. 不妨假设 v , w v, w v,w夹角为 θ / 2 ∈ ( 0 , π / 2 ) \theta/2 \in (0, \pi/2) θ/2∈(0,π/2) (注意 P v = P − v P_v = P_{-v} Pv=P−v. 必要时用 − v -v −v代替 v v v，即可保证夹角为锐角). 在二维子空间 W = s p a n ( v , w ) W=\mathrm{span}(v, w) W=span(v,w)中，线性变换 Q Q Q的效果是逆时针旋转 θ \theta θ. 熟知这可以用旋转矩阵 R θ = ( c − s s c ) R_\theta = \begin{pmatrix} c & -s \\ s & c \end{pmatrix} Rθ=(cs−sc)给出，其中 c = cos θ , s = sin θ c=\cos \theta,\; s= \sin \theta c=cosθ,s=sinθ. 而全部与 R θ R_\theta Rθ 乘法可交换的矩阵都是像 A a , b = ( a − b b a ) A_{a, b}=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} Aa,b=(ab−ba)的形式。这些矩阵在全部2阶矩阵构成的线性空间中，组成了一个2维子空间。
在 V V V中， W W W的正交补 W ⊥ W^\perp W⊥是 8 8 8维的。在 W ⊥ W^\perp W⊥中进行任何的线性变换，都与 Q Q Q乘法可交换。所以所求的线性子空间维数是 8 × 8 + 2 = 66 8\times 8 + 2=66 8×8+2=66维。
注意：如果把10维改为一般的 n ( ≥ 2 ) n (\geq 2) n(≥2)维，那么答案是 ( n − 2 ) 2 + 2 (n-2)^2 + 2 (n−2)2+2维.
第11题： 10 10 10阶矩阵 A A A满足每行恰有 5 5 5个 1 1 1 和 5 5 5 个 0 0 0，且使得 A 2 + 5 A A^2+5A A2+5A是一个全部元素均为 5 5 5的矩阵. 问这样的矩阵 A A A有多少个？
解：(1)
A
A
A的对角元不能是
1
1
1, 所以只能是
0
0
0. 这是因为如果
A
A
A有一个对角元是
1
1
1,
A
2
+
5
A
A^2+5A
A2+5A相应的对角元就至少是
6
6
6.
(2) 用
J
2
n
J_{2n}
J2n表示元素全部是
1
1
1的
2
n
2n
2n阶方阵。从
A
2
+
5
A
=
5
J
10
A^2+5A=5J_{10}
A2+5A=5J10可知，如果
A
A
A的第
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)位置是
1
1
1, 则
A
2
A^2
A2的第
(
i
,
j
)
(i,j)
(i,j)位置是
0
0
0; 如果
A
A
A的第
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j)位置是
0
0
0, 则
A
2
A^2
A2的第
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j)位置是
5
5
5. 由此可知，
A
A
A的第
k
k
k列中
1
1
1的位置与
A
A
A的第
k
k
k行中
1
1
1的位置相同，所以
A
A
A是对称矩阵。
（3）从等式 A 2 + 5 A = 5 J 10 A^2+5A=5J_{10} A2+5A=5J10以及 A = A ⊤ A=A^\top A=A⊤可见，只要 A A A的第一行确定了，那么 A 2 A^2 A2的第一行， A A A