自动控制原理笔记（4）——线性系统的时域分析

文章目录

• 前言
• 线性系统的时域分析
• 一阶系统的时域分析
• 二阶系统的时域分析
• 阻尼比
• 欠阻尼二阶系统阶跃响应
• 添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响
• 速度反馈（微分负反馈）
• 比例-微分控制与测速反馈控制的比较

前言

汇总版在这篇文章：自动控制原理上课笔记

线性系统的时域分析

一阶系统的时域分析

线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应，均可分解为零输入响应与零状态响应之和：
$y(t)=y_{zi}+y_{zs}$y(t)=yzi​+yzs​

• $y_{zi}$yzi​：零输入响应

  • 只与系统的极点类型和分布有关，与系统的零点无关，与系统的初始条件有关。

  • 反映系统的稳定性。

• $y_{zs}$yzs​：零状态响应

  • 在时域：表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积。
  • 在复数域：表示为传递函数与输入信号拉氏变换的乘积。
  • 与系统的零极点都有关，还与输入信号的性质有关。
  • 反映系统的稳定性、暂态（快速及平稳性）及稳态（准确）特性。

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数学模型

• 微分方程： $T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)$Tdtdc(t)​+c(t)=r(t)
• 开环传函： $G_k(s)=\frac{1}{Ts}$Gk​(s)=Ts1​
• 闭环传函： $\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}$Φ(s)=R(s)C(s)​=Ts+11​
• 特征方程： $Ts+1=0$Ts+1=0

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输入响应

• 单位阶跃响应

  $t=3T,c(t)=0.95$t=3T,c(t)=0.95 —— 5% 误差带

  $t=4T,c(t)=0.98$t=4T,c(t)=0.98 —— 2% 误差带

  • 可以用时间常数 T 去度量系统的输出量的数值

  • 初始斜率为 1/T

  • 无超调

  • 稳态误差 $e_{ss}=0$ess​=0

• 单位脉冲响应

  • 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值
  • 初始斜率为 $-1/T^2$−1/T2
  • 无超调
  • 稳态误差 $e_{ss}=0$ess​=0

• 单位斜坡响应

  出现稳态误差（ $e_{ss}=T$ess​=T ）

  一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。

• 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数。
• 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。

二阶系统的时域分析

• 微分方程

$T^2\frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{T}\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\\ \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{w_n}\frac{dc(t)}{dt}+w^2_nc(t)=w^2_nr(t)$T2dt2d2c(t)​+2ζTdtdc(t)​+c(t)=r(t)dt2d2c(t)​+2ζwn​dtdc(t)​+wn2​c(t)=wn2​r(t)

• 开环传函

$G_k(s)=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s}=\frac{w^2_n}{s^2+2\zeta{w_n}s}$Gk​(s)=T2s2+2ζTs1​=s2+2ζwn​swn2​​

• 闭环传函

$\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{w_n}^2}{s^2+2\zeta{w_n}s+{w_n}^2 }=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s+1}$Φ(s)=R(s)C(s)​=s2+2ζwn​s+wn​2wn​2​=T2s2+2ζTs+11​

• 特征方程的根

$s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}$s1,2​=−ζwn​∓jwn​1−ζ2​

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阻尼比

阻尼比	所属情况
$\zeta=0$ζ=0	无（零）阻尼
$0<\zeta<1$0<ζ<1	欠阻尼
$\zeta＝1$ζ＝1	临界阻尼（重极点）
$\zeta>1$ζ>1	过阻尼

• 由于阻尼比 $\zeta$ζ 为负，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式，从而表明 $\zeta<0$ζ<0 的二阶系统是不稳定的。

• 如果 $\zeta＝0$ζ＝0，则特征方程有一对纯虚根，$s_{1,2}=\pm{jw_n}$s1,2​=±jwn​，对应于 s 平面虚轴上一对共轭极点，可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡，此时系统相当于无阻尼情况。

• 如果 $0<\zeta<1$0<ζ<1，则特征方程有一对具有负实部的共轭复根，$s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}$s1,2​=−ζwn​∓jwn​1−ζ2​ ，对应于 s 平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为衰减振荡过程，此时系统处于欠阻尼情况。

  • 系统特征方程既有实部也有虚部，其单位阶跃响应既有振荡成分也有衰减成分，是一个随时间 t 的增长，振幅按指数规律衰减的周期函数（衰减振荡曲线）。

• 如果 $\zeta＝1$ζ＝1，则特征方程具有两个相等的负实根，$s_{1,2}=-w_n$s1,2​=−wn​，对应于s平面负实轴上的两个相等实极点，相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出，此时系统处于临界阻尼情况。

• 如果 $\zeta>1$ζ>1，则特征方程有两个不相等的负实根 $s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{w_n\sqrt{\zeta^2-1}}$s1,2​=−ζwn​±wn​ζ2−1​ ，对应于 s 平面负实轴上的两个不等实极点，相应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出，但响应速度比 1 临界阻尼情况缓慢，因此称为过阻尼情况。

二阶控制系统的设计，一般取 $\zeta=0.4\sim0.8$ζ=0.4∼0.8

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二阶系统的单位阶跃响应

• 根的实部反应在响应的指数部分（模态形状:是否衰减）

• 根的虚部反应在响应的正弦部分（模态形状:是否振荡）

  • $\zeta=0$ζ=0 时为临界稳定状态

  • $\zeta ≈ 0.707$ζ≈0.707 时调节时间最短（称为最佳阻尼比）

$s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}=-\sigma\pm{jw_d}$s1,2​=−ζwn​±jwn​1−ζ2​=−σ±jwd​

• 衰减系数 $\sigma$σ （实部）是闭环极点到虚轴之间的距离

• 阻尼振荡频率 $w_d$wd​ (虚部)是闭环极点到实轴之间的距离：$w_d=w_n(\sqrt{1-\zeta^2})$wd​=wn​(1−ζ2​)

• 自然频率 $w_n$wn​ 是闭环极点到坐标原点之间的距离

  $w_n$wn​ 与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比 $\zeta$ζ，即 $\cos\varphi=\zeta$cosφ=ζ

结论：调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而加大自然频率值，则可在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

欠阻尼二阶系统阶跃响应

• 峰值时间：$t_p=\frac{\pi}{w_d}=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}}$tp​=wd​π​=wn​1−ζ2​π​ 与根（极点）的虚部成反比

• 超调量：$\sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%$σp​=e−1−ζ2​πζ​×100%

• 上升时间：$t_r=\frac{\pi-\varphi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}}$tr​=wn​1−ζ2​π−φ​ 为第一次达到稳态值时的时间

• 调节时间：$t_s=\frac{3.5}{\zeta{w_n}}(\Delta=5\%)$ts​=ζwn​3.5​(Δ=5%) $t_s=\frac{4.4}{\zeta{w_n}}(\Delta=2\%)$ts​=ζwn​4.4​(Δ=2%) 与闭环极点的实部数值成反比

• 延迟时间：$t_d\approx\frac{1+0.7\zeta}{w_n}$td​≈wn​1+0.7ζ​ 或 $t_d\approx\frac{1+0.6\zeta+0.2\zeta^2}{w_n}$td​≈wn​1+0.6ζ+0.2ζ2​ 为第一次达到稳态值一半的时间，与震荡频率成反比，与 ξ 成正比

由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然频率决定。

对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离（$\zeta{w_n}$ζwn​）决定响应的快速性。

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零。

添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响

• 添加闭环零点

  • 输出响应的变化率越大微分作用便越强，零点的影响就越大；闭环零点离虚轴越近，影响就越显著，若零点离虚轴越远则影响就越弱。
  • 一般而言，添加闭环零点，使响应加快，震荡加剧，超调增大。零点越靠近虚轴，作用越明显。

• 添加开环零点

  增大阻尼比，不影响系统的稳定性，系统的动态性能可以得到改善，不改变系统的稳态精度。

  • 比例微分控制（在前向通道中添加零点）不影响系统的稳定性。
  • 比例微分控制（添加开环零点）可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强；可以使闭环增加同样的零点，从而使系统响应加快；比例微分控制（添加开环零点）可以全面改善系统的动态响应特性。
  • 比例（$k_p=1$kp​=1）微分控制（添加开环零点）不影响系统的稳态精度。
  • 比例微分控制（添加开环零点）主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能。

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速度反馈（微分负反馈）

输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例一微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统动态性能。

• 微分负反馈控制器不影响系统的稳定性。
• 微分负反馈控制器可以增大系统的阻尼比，从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强、使系统调节时间加快；微分负反馈控制器可以改善系统的动态响应特性。
• 微分负反馈控制器降低系统的稳态精度。
• 微分负反馈控制器主要用于改善系统的暂态响应（动态）性能，但会增大稳态误差。
• 为了减小稳态误差，必须加大原系统的开环增益，而使 $K_t$Kt​ 单纯用来增大系统阻尼。

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比例-微分控制与测速反馈控制的比较

• 附加阻尼来源：比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。
• 使用环境：比例-微分控制对噪声有明显放大作用，当系统输入端噪声严重时，不宜选用比例-微分控制。同时，微分器的输入信号为系统误差信号，其能量水平低，需要当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。
• 对开环增益和自然频率的影响：比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。
• 对动态性能的影响：比例-微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。