相似矩阵、过渡矩阵

申明： 仅个人小记

一、相似矩阵

P−1AP=B$$P^{-1}AP=B$$

P−1APx⃗ =Bx⃗ $$P^{-1}AP\overrightarrow{x}=B\overrightarrow{x}$$

x⃗ $\overrightarrow{x}$是新空间的一个向量，Px⃗ $P\overrightarrow{x}$表示将新空间向量x⃗ $\overrightarrow{x}$变换为原空间向量，APx⃗ $AP\overrightarrow{x}$是在原空间下做A变换,P−1APx⃗ $P^{-1}AP\overrightarrow{x}$是将变换结果反变回新空间，Bx⃗ $B\overrightarrow{x}$是在新空间下对向量x⃗ $\overrightarrow{x}$做B变换

对上式进行变形，得

A=PBP−1$$A=PB{P}^{-1}$$

Ay⃗ =PBP−1y⃗ $$A\overrightarrow{y}=PB{P}^{-1}\overrightarrow{y}$$

此时，y⃗ $\overrightarrow{y}$是原空间的一个向量，P−1y⃗ $P^{-1}\overrightarrow{y}$是将原空间向量y⃗ $\overrightarrow{y}$变换到新空间，BP−1y⃗ $B{P}^{-1}\overrightarrow{y}$则是在新空间中对向量P−1y⃗ $P^{-1}\overrightarrow{y}$做B变换，PBP−1y⃗ $PB{P}^{-1}\overrightarrow{y}$便是将变换结果P−1y⃗ $P^{-1}\overrightarrow{y}$变换到原空间。

二、过渡矩阵

R3$R^3$空间的一个基A=(α⃗ 1,α⃗ 2,α⃗ 3)$A=({\overrightarrow{\alpha }}_1,{\overrightarrow{\alpha }}_2,{\overrightarrow{\alpha }}_3)$，在取一个新基B=(β⃗ 1,β⃗ 2,β⃗ 3)$B=({\overrightarrow{\beta }}_1,{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_3)$，把矩阵

P=A−1B$$P=A^{-1}B$$

称为旧基A到新基B的过渡矩阵。
为什么这样称呼，看下式：

B=AP$$B=AP$$

即对基A做变换P就可以得到基B。(为什么这样，我暂时不清楚，只当是选出一种作为规定吧)。

具体用处，

x⃗ =A−1By⃗ ,其中x⃗ 是基A下的坐标，y⃗ 是基B下的坐标$$\overrightarrow{x}=A^{-1}B\overrightarrow{y},其中\overrightarrow{x}是基A下的坐标，\overrightarrow{y}是基B下的坐标$$

By⃗ $B\overrightarrow{y}$是将B基下的向量y⃗ $\overrightarrow{y}$变换到原空间，A−1By⃗ $A^{-1}B\overrightarrow{y}$表示将原空间的向量By⃗ $B\overrightarrow{y}$变换到A基下的向量。