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二、正态分布
1、表示方法：N(μ,σ2)
2、正态分布是个神奇的分布，任何分布随着其*度或样本量增大，其最终都会服从正态分布。（正态分布是所有分布的终极状态）
3、概率密度函数：（f(x)：概率密度，和概率是一回事，数据离散的时候叫概率，数据连续的时候叫概率密度）
4、正态分布理解：
- 从上图看，横轴是变量的值，纵轴是概率密度，即事件发生的概率，事件发生概率有小有大，但不能是负数，所以概率密度函数在x上方，即f(x)>0；
- 之前复习了数据分布偏态，如果数据对称分布， 那么均值、中心位数和众数都会是在一条线上，正态分布正是对称分布，正态曲线的最高点是均值μ，也是分布的中心位数和众数；
- 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值μ和标准差σ来区分；μ决定曲线的高度位置，σ决定曲线的平缓程度；
- 曲线f(x)相对均值μ对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会和横轴相交；
- 正态曲线下的总面积等于1；
例子：如何计算随机变量在某两点之间的概率p(a<x<b)？
【解答】我们可以用微积分的方法来解决这个问题，但正态分布的概率密度函数求导是很复杂的，如下图红色化简后的公式，为了简便，我们可以交给电脑计算，接下来我们可以应用一个函数，分布函数。
5、正态分布的分布函数
分布函数F(xo)表示的是在正态分布曲线中，x=xo左边的面积！这个函数结果我们可以查表得出，得到的是左边面积，具体应用会在标准正态分布详细讲解。
三、标准正态分布
1、正态分布是很多种，我们可以取一个特殊的正态分布来做研究。我们可以取期望（也可叫均值）为0，方差为1的正态分布命名标准正态分布。公式化简后：
2、理解：标准正态分布最高点在均值0，且中位数和众数相同；因为我们已经设定好均值和方差，那么标准分布曲线的高度和宽度是确定的，所以它是唯一的，确定的。那么我们就可以制作出一个表，来查询标准正态分布概率值。
3、标准正态分布函数：
其和正态分布一样，表示的是x=xo左边的面积。（离散数据求和符号Σ，定积分的本质是求连续数据的和，符号上图公式）
【练习】x～N(0,1)，求p(1<x≤2)，p(x<-1),p(|x|≤1.5),p(x>0.5)
【解答】由标准正态分布函数可得：Ф(xo)=p(x≤xo)
- p(x<1)=Ф(1),p(x≤2)=Ф(2),我们可查表得：
p(x<1)=Ф(1)=0.841345 p(x≤2)=Ф(2)=0.97725
因为查表结果所得是左边面积（概率），因此还要Ф(2)-Ф(1)=0.135905。最终得：p(1<x≤2)=0.135905
- 同理可得，p(x>0.5)=1-p(x≤0.5)=1-Ф(0.5)=1-0.6915=0.3085
- 因为数据曲线分布对称，因此p(x<-1)=p(x>1)=1-p(x≤1)=1-Ф(1)=0.1587
- p(|x|≤1.5)=p(0≤x≤1.5)+p(-1.5≤x≤0)=p(-1.5≤x≤1.5)=p(x≤1.5)-p(x≤-1.5)=p(x≤1.5)-1+p(x≤1.5)=2p(x≤1.5)-1=2Ф(1.5)-1=0.86639
4、其他正态分布与标准分布的转换
一般的正态分布取决与均值μ和标准差σ，计算概率时，每个正态分布都有自己的正态概率分布表，这样的表格是无穷多的，若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，那么计算概率就只需要查一张表即可。
任何一般正态分布N(μ,σ2)，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布。标准化公式：
【练习】一般正态分布情况，若x～N(1,22)，求p(x≤2)。
【解答】由题可知，μ=1，σ=2，
转变公式：Z=(X-1)/2~N(0,1)
得，P(X≤2)=Ф(0.5)=0.691462
【总结1】不等式中只需右边换算，左边不动。
