图形学数学基础之基本蒙特卡罗尔积分(Monte Carlo Integration)

作者：i_dovelemon
日期：2017/07/29
来源：****
主题：Monte Carlo Integration

引言

好久没有写博客了，最近一直在忙于工作，同时GLB库中关于PBR的渲染算法，一直卡住，无法实现下去。不过在这段时间，阅读了大量关于PBR的论文，有了一点心得，所以今天在这里和大家分享下，在准备实现PBR中，所需要准备的一些数学基础知识。

今天要和大家分享的是在解渲染方程中，最常使用的一种数学积分方法-基本蒙特卡罗尔积分，后面会陆陆续续补充一些基于此方法的优化手段。

蒙特卡罗尔积分

假设我们有一个函数f(x)，我们无法通过分析的方法直接求出如下的积分：

∫π0f(x)dx

，那么当我们需要知道该积分的值的时候，又该怎么办了？

聪明的科学家们，想出了一些近似的方法来求出该积分，其中在图形学里面被经常用到的就是蒙特卡罗尔积分。

我们假设，下图就是函数f(x)在[0,π]上的曲线：



求这个函数在[0,π]上的积分，实际上就是求曲线与x轴在[0,π]所围图形的面积，如下图所示：



由于这个图形是一个不规则的图形，想要简单的求出面积基本不可能。但是我们知道，对于该面积，当我们将[0,π]的长度π作为宽的时候，必然存在某个值h，使得函数与x轴围成的面积等于A=π∗h，即下图所示：



所以，对于求该函数的积分，就变成了如何求出一个h值，使得他们的面积相同。

实际上，由于宽度为π，就是函数f(x)的作用域，那么高度h很自然的就是整个函数在[0,π]上的平均值。

所以，最后问题就变成了：如何较准确的求出函数在[0,π]范围里面的平均值。对于该问题，图形学里面是通过采样的方式来进行预估的。

虽然前面我们说过对于

∫π0f(x)dx

，我们没有分析的方法去计算出它的值，但是对于函数f(x)的值，却可以用带入参数的方法，直接计算出来。有了这个前提，我们就能够在函数的作用域范围里面随机的选择参数x的值，然后精确的计算出f(x)的值。

当然，仅仅只通过选取一个随机值，计算出的f(x)值，与实际的函数f(x)的平均值可能相距甚远，所以，我们需要在[0,π]的范围里面，生成大量的随机值，计算f(x)的值，并且将所有这些f(x)的值求一个平均数，就能够得到一个近似的h值了。

上面这段话应该很容易理解，当我们随机采样的数量趋近于无限的时候，这些随机样本所形成的f(x)的平均值，就等于精确的h。当然，在实际情况下，我们无法生成无限的随机样本，所以，误差总是不可避免的。所以现在图形学关于这块的研究，就是如何在有限的样本情况下，使用最少的样本数量，更快的计算出更小误差的h值。

关于函数f(x)的基本蒙特卡罗尔积分，就可以用一个公式来概括，即：

∫π0f(x)dx≈πN∑i=1Nf(xi)

。

同时，我们可以得出更加通用的公式：

∫baf(x)dx≈b−aN∑i=1Nf(xi)

总结

这一次通过一个简单的实例，讲解了基本蒙特卡罗尔的方法，下一次将要讲解，图形学里面，常用的优化手段，能够让我们使用更少的样本，更快的计算出，比较精确的积分值。

参考文献

[1] Ray Tracing From the Ground Up, by Kevin Suffern
[2] Physically Based Rendering From Theory to Implementation, Third Edition, by Matt Pharr,Wenzel Jakob,Greg Humphreys