2.3保凸运算

如果我们知道若干个集合是凸集，如何通过已知的凸集然后推知其他的凸集，这里就需要保凸运算了。在保凸运算的前后，凸性是保持不变的。

2.3.1 交集

如果S1与S2均为凸集，那么S1与S2的交集也是凸集（这个还是比较好理解的。）
注意：交集有这个性质，并集可没有

定义：
F(x)是一个仿射函数当：
$f(x) = Ax + b,f:{R^n} \to {R^m}$ $A \in {R^{mxn}},b \in {R^m},$
其中表达式 $f:{R^n} \to {R^m}$ 的意思是x是一个n维向量，f是一个m维的向量，仿射函数是把一个n维向量映射为一个m维的向量。
仿射变化与线性变化的区别：
应用:
如果 ${\rm{S}} \in {{\rm{R}}^{\rm{n}}}$ 是一个凸集，f是一个仿射函数，那么 $f(s) = { f(x)|x \in S} $为凸，反过来也是成立的，如果f(x)是一个仿射函数，且是凸集，那么对应的x也是一个凸集。相当于把仿射函数看成一个x,然后在求取逆变换的时候符合仿射变换，所以变换之后仍然为凸集。
举例：

缩放与移位是保持凸性的
两个凸集的和还是凸集：（这里的和得到的并不是交集）
${{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}{\rm{ = \{ x + y|x}} \in {{\rm{S}}_1},y \in {{\rm{S}}_2}\}$
证明：首先把两个凸集变为一个凸集：把维度上升一个：
${{\rm{S}}_1}{\rm{ x }}{{\rm{S}}_2}{\rm{ = \{ (x,y)|x}} \in {{\rm{S}}_1},y \in {{\rm{S}}_2}\}$ S3= 容易证明这个集合是一个凸集
$f(x,y) = [1,1]{[x,y]^T} = x + y,x,y) \in {S_3}$ 对凸集S3做一个仿射变化，得到的也一定是凸
线性矩阵不等式的解集也是一个凸集

$x = \frac{{B - f(x)}}{A}$
根据x的取值， $f(x)$ 是一个半正定矩阵
根据上面的结论，半正定矩阵是一个凸集，所以f(x)是一个凸集，对f(x)求解逆运算，求出x,如上述的表达式是一个仿射变换（根据结论凸集的仿射变换仍然为一个凸集），所以x是一个凸集
椭球是球的仿射映射(把一个球通过伸缩与移位，就能够得到一个椭球)
根据上面椭球（单位椭球）的定义：

透视函数的定义：

透视函数的定义与是(n+1)维，其中最后一个维度的变量一定是一个正数；透视函数的函数值是一个（n）维的数，一个变量，经过透视变换，将会减少一个维度。
小孔成象说明透射函数

小孔照相机由一个不透明的水平线x=-1和一个原点的小孔组成，x=0上面的光线透过原点的小孔照映在x=-1这条水平线上，形成象，这条水平线上的纵坐标都是-1，忽略象的最后一个维度。光线向象的映射就对应于透视函数。
关于透视函数的定理：

《Convex Optimization》学习笔记——第二章凸集2.3 保凸运算

这个定理成立说明了，一个凸集经过非线性变换，仍然有可能够保持凸性）
仿射函数其实是一个线性变换，透射函数是一个非线性变换，他们都能使集合前后保持凸性，但是如果把两者结合起来用的话，够着一个新的特殊的非线性变换，结果仍是一个凸集，那么他的性质就很好了。