关于格林公式与第一二类曲线积分

文章目录

• 格林公式①
• 格林公式②
• 第一二类曲线积分的联系

格林公式①

• 条件：函数$P(x,y)，Q(x,y)$P(x,y)，Q(x,y)在
  • 在闭区域D上(还要求彼此不相交)
  • 连续
  • 且有连续的一阶导数
• 结论：$\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma=\oint_LPdx+Qdy$∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)dσ=∮L​Pdx+Qdy其中L为D的边界曲线，分段光滑并取正方向
• 以上也可记为$\iint_D\begin{vmatrix}\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}\\P&Q\end{vmatrix}$∬D​∣∣∣∣​∂x∂​P​∂y∂​Q​∣∣∣∣​

格林公式②

• $\oint_L[P\cos<n,x>+Q\cos<n,y>]ds$∮L​[Pcos<n,x>+Qcos<n,y>]ds $=\iint_D(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y})dxdy$=∬D​(∂x∂P​+∂y∂Q​)dxdy其中$<n,x>,<n,y>$<n,x>,<n,y>分别是边界曲线外法线方向分别与$x,y$x,y轴的夹角
• 注意，这里的二重积分是加，且P对x,Q对y

第一二类曲线积分的联系

$\int_{\overset{\large{\frown}}{AB}}Pdx+Qdy=\int_{\overset{\large{\frown}}{AB}}[P\cos\langle\tau,x\rangle+Q\cos\langle\tau,y\rangle]ds$∫AB⌢​Pdx+Qdy=∫AB⌢​[Pcos⟨τ,x⟩+Qcos⟨τ,y⟩]ds $=\int_{\overset{\large{\frown}}{AB}}[Q\cos\langle n,x\rangle-P\cos\langle n,y\rangle]ds$=∫AB⌢​[Qcos⟨n,x⟩−Pcos⟨n,y⟩]ds其中$\tau$τ为$\overset{\large{\frown}}{AB}$AB⌢的切向量，$n$n为法向量
发现有以下关系：$\cos\langle\tau,y\rangle=\cos\langle n,x\rangle$cos⟨τ,y⟩=cos⟨n,x⟩ $\cos\langle\tau,x\rangle=-\cos\langle n,y\rangle$cos⟨τ,x⟩=−cos⟨n,y⟩
还有：$dx=\cos\langle\tau,x\rangle ds$dx=cos⟨τ,x⟩ds$dy=\cos\langle\tau,y\rangle ds$dy=cos⟨τ,y⟩ds
哇！我知道$\langle\tau,y\rangle,\langle\tau,x\rangle,\langle n,x\rangle,\langle n,y\rangle$⟨τ,y⟩,⟨τ,x⟩,⟨n,x⟩,⟨n,y⟩之间的关系了！！！原来我一直都忽略了一个事情，就是切线的方向必须要沿着弧长增加的方向，而这里弧长增加的方向就是正方向！！

发现有：$\langle\tau,y\rangle=\langle n,x\rangle$⟨τ,y⟩=⟨n,x⟩ $\langle\tau,x\rangle=\frac{\pi}2+\langle n,x\rangle$⟨τ,x⟩=2π​+⟨n,x⟩