应力分析(1)

弹塑性力学¹–应力分析(1)

弹性力学的研究对象和内容

​ 物体受外载荷作用所产生的形状和大小的改变，称之为变形或形变，通常考虑的外部载荷包括机械外力、温度、电磁力等各种物理因素。如果将引起变形的外部载荷移去后，物体能完全回复到原来的形状和大小，这种变形称为弹性变形。

应力分析

应力矢量

$ \newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}}$

考查平面C上包括P点在内的微小面积$\Delta S$ΔS，如下图所示

P点内的应力集度可使用如下式定义的应力矢量$\boldsymbol{T(n)}$T(n)描述

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在笛卡尔坐标系下，应力矢量可以表示为

$\boldsymbol{T(n)}=T_x \boldsymbol{e}_x +T_y \boldsymbol{e}_y +T_z \boldsymbol{e}_z \tag{1.1}$T(n)=Tx​ex​+Ty​ey​+Tz​ez​(1.1)

在P点的领域内截取一个微六面体，若微面的外法线方向与坐标轴的正方向一直，则称为正面；若与坐标轴正方向相反，则称为负面。每个应力矢量沿空间坐标轴的3个分量中，一个分量垂直于作用面，用$\sigma$σ表示，两个分量平行与作用面，是剪应力，用$\tau$τ表示

$\boldsymbol{T(e_x)}=\sigma_{xx}\boldsymbol{e}_x+\tau_{xy} \boldsymbol{e}_y+\tau_{xz}\boldsymbol{e}_z\\ \boldsymbol{T(e_y)}=\tau_{yx} \boldsymbol{e}_x+\sigma_{yy}\boldsymbol{e}_y+\tau_{yz}\boldsymbol{e}_z\\ \boldsymbol{T(e_z)}=\tau_{zx} \boldsymbol{e}_x+\tau_{zy}\boldsymbol{e}_z+\sigma_{zz}\boldsymbol{e}_z \tag{1.3}$T(ex​)=σxx​ex​+τxy​ey​+τxz​ez​T(ey​)=τyx​ex​+σyy​ey​+τyz​ez​T(ez​)=τzx​ex​+τzy​ez​+σzz​ez​(1.3)
式中每个应力分量有两个下标，前一个下标代表作用面的外法线方向，后一个下标代表应力的作用方向。为了简便起见，以后正应力的两个相同下表只保留其中一个。3个应力矢量共9个分量，使用张量的记法，9个应力分量记为
$[\sigma_{ij}]= \left[ \begin{matrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} &\sigma_{22} &\sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{matrix} \right]$[σij​]=⎣⎡​σ11​σ21​σ31​​σ12​σ22​σ32​​σ13​σ23​σ33​​⎦⎤​
应力正负号规定：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面上的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。式（1.3）使用张量记法可以表示为
$\boldsymbol{T(e_i)}=\sigma_{i \boldsymbol k} \boldsymbol{e_k} \tag {1.4}$T(ei​)=σik​ek​(1.4)

Cauchy应力公式（斜面应力公式）

斜面上的应力矢量
$\boldsymbol{T(n)}=\boldsymbol{T}(\boldsymbol e_x) l+\boldsymbol{T}(\boldsymbol e_y)m+\boldsymbol{T}(\boldsymbol e_z)n \tag{1.5}$T(n)=T(ex​)l+T(ey​)m+T(ez​)n(1.5)
这就是著名的Cauchy公式，又称斜面应力公式，其实质是微四面体的平衡条件。

式（1.5）用分量的形式表示为
$T_x=\sigma_{x}l+\tau _{yx}m+\tau_{zx}n \\ T_y=\tau_{xy}+\sigma_{y}m+\tau_{zy}n \\ T_z=\tau_{xz}+\tau_{yz}m+\sigma_{z} n \tag{1.6}$Tx​=σx​l+τyx​m+τzx​nTy​=τxy​+σy​m+τzy​nTz​=τxz​+τyz​m+σz​n(1.6)
使用张量指标记法，式（1.5）和式（1.6）可分别表示为
$\boldsymbol{T(n)}=n_i \boldsymbol{T}(\boldsymbol{e}_i) \tag{1.7a}$T(n)=ni​T(ei​)(1.7a)

$T_i=n_i \sigma_{ij} \tag{1.7b}$Ti​=ni​σij​(1.7b)

Cauchy公式有两个重要的应用：

（1）求斜面的各种应力。

（2）确定力的边界条件。

平衡微分方程

根据应力函数的连续性、Taylor级数知识，以六面体微元推导。

$\frac {\partial \sigma _x}{\partial x}+\frac {\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac {\partial \tau_{zx}}{\partial z}+F_x=0 \tag{1.10a}$∂x∂σx​​+∂y∂τyz​​+∂z∂τzx​​+Fx​=0(1.10a)

$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac {\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+F_y=0 \tag{1.11b}$∂x∂τxy​​+∂y∂σy​​+∂z∂τzy​​+Fy​=0(1.11b)

$\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac {\partial \sigma_{z}}{\partial z}+F_z=0 \tag{1.11c}$∂x∂τxz​​+∂y∂τyz​​+∂z∂σz​​+Fz​=0(1.11c)

平衡方程的张量表示为
$\sigma_{ij,i}+F_j=0 \tag{1.13}$σij,i​+Fj​=0(1.13)
式中
$\sigma_{ij,i}=\frac{\partial \sigma_{1j}}{\partial x_1}+\frac{\partial{\sigma_{2j}}}{\partial x_2}+\frac{\partial \sigma_{3j}}{\partial x_3}$σij,i​=∂x1​∂σ1j​​+∂x2​∂σ2j​​+∂x3​∂σ3j​​

边界条件

当物体的一部分边界上给定了分布的表面力，称这部分边界为力边界，使用$S_\sigma$Sσ​表示。力边界条件指边界上个点的应力与已知表面力应满足的关系。力的边界条件实质上是物体边界点的平衡条件。如下图，对照Cauchy公式，则该店的应力分量应满足下式
$\sigma_xl+\tau_{yx}m+\tau_{zx}=\overline{T}_x \tag{1.14a}$σx​l+τyx​m+τzx​=Tx​(1.14a)

$\tau_{xy}l+\sigma_{y}m+\tau_{zy}=\overline{T}_y \tag{1.14b}$τxy​l+σy​m+τzy​=Ty​(1.14b)

$\tau_{xz}l+\tau_{yz}m+\tau_{z}n=\overline{T}_z \tag{1.14c}$τxz​l+τyz​m+τz​n=Tz​(1.14c)

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1. 陈明祥. 弹塑性力学[M]. 北京: 科学出版社, 2007. ↩︎