最优化技术——单纯形法
说明
这个文章的大部分内容(几乎全部)都来自于我最优化课程的课程笔记。主要来源是重庆大学文静老师的PPT,个人主要用于整理、归纳,如果有侵权等问题,我会在第一时间将博客撤销。
单纯形法的流程介绍
直观的去看这个流程,有一点点像前面的一些函数的优化方法。但是在枚举的过程中,有一些问题值得关注:
- 枚举的起点?
- 如何判断当前已经是最优解了?
- 如何在当前解的前提下找到一个更好的解?
单纯形法的迭代原理
通过一个例子来讲解单纯形法的基本原理
我们这样一个线性规划问题:
因为这里主要讨论单纯形法,所以我们不再纠结怎么化成标准型。
-
选择初始基,确定基本可行解
这里使用的是观察法(我:???),观察系数矩阵中是否含有现成的单位阵,如果有的话就直接用现成的单位阵作为基。
在这里我们选定的基变量为:
选定的基矩阵为单位矩阵
找到的基本可行解:
即:
Q:为什么要找单位阵?
A:我们都学过《线性代数》,线代告诉我们,一个矩阵能够被化作单位矩阵和这个矩阵可逆是等价的,有根据上一节讲的,在求解过程中需要对基去逆,所以综上所述,需要找一个单位阵/可以化成单位阵的。
-
判断当前解是否为最优解
将基变量使用非基变量表示,使用非基变量表示目标函数。
我们的非基变量向上增加,目标函数的值也是增加的,所以说现在的基本可行解的取值不是最优的。那么什么时候它的取值才是最优的呢?
当非基变量的值增加,而目标函数的值不增加的时候,就是最优的。
也就是说当目标函数中的系数也就是检验数都小于等于0时,就是最优解,这里包括两种情况:
- 检验数为0 : 是最优解,但并不是唯一的最优解,表示存在无数个最优解
- 检验数为1:是唯一的最优解
-
如何转到下一个基本可行解
回到我们的目标函数:
从这个目标函数中我们可以看出,对目标函数的贡献比大。要让的取值从0变成正值,所以从非基变量转为基变量,称作进基变量。
这里就有一个问题,有一个变量从非基变量变成基变量,就意味着会有一个基变量变成非基变量,这个变成非基变量的变量叫做离基变量。
离基变量的选择:
这里我们需要回到用非基变量表示基变量的那一步:
那么在挑选离基变量的时候,我们将收敛的最快的(当进基变量增大时,最先到0的)拿出去。
按照这个方法,我们新的基变量是,非基变量是:
然后再回到第一步开始检验,直到得到最优解为止。
单纯形表
单纯形表的构建
这里我们不再关注怎么加松弛变量之类的问题了
单纯形表中:
-
:表示当前的基变量,初始挑选单位阵为初始基,构成向量B
-
:代表当前基变量在目标函数中的系数向量
-
:代表约束条件的右端的b值
-
:代表目标函数的系数,在这里
-
下面的数字:约束条件的系数矩阵
-
:检验数, ,这里的是系数矩阵
以为例,
找到入基变量
方法:找检验数最大的,再上一张表里面,的检验数最大,所以将作为入基变量
找到出基变量
方法:找,我们顺着上面来,我们现在确定了就是所谓的入基变量,下面,开始计算:
在上面的表中,
值得注意的是:当的值为负值的时候,就不需要求了。
到此为止,谁的值越小就选谁当出基变量
总体操作
找到入基变量,出基变量之后,列一张新的单纯形表,并且以此往复即可。当所有非基变量都为负数或零时停止,这时最优解就是:基变量取得到的值,非基变量取0.