常见的趋势曲线

常见的趋势曲线

注：上面修正指数曲线的公式和下面的不一样，下面为$y=k+ab^t$y=k+abt

两种S型曲线（龚珀兹曲线，Logistic曲线）

龚珀兹曲线

Logistic曲线

不同趋势曲线各自的特征

• 直线预测模型$\hat{y}_t=a+bt$y^​t​=a+bt
  一阶差分为常数$\nabla{\hat{y}}_t={\hat{y}}_{t}-{\hat{y}}_{t-1}=b$∇y^​t​=y^​t​−y^​t−1​=b
• 二次抛物线预测模型$\hat{y}_t=a+bt+ct^2$y^​t​=a+bt+ct2
  二阶差分为常数${\nabla}^2{\hat{y}}_t=\nabla{\hat{y}}_t-\nabla{\hat{y}}_{t-1}=2c$∇2y^​t​=∇y^​t​−∇y^​t−1​=2c
• 三次抛物线预测模型$\hat{y}_t=a+bt+ct^2+dt^3$y^​t​=a+bt+ct2+dt3
  三阶差分为常数${\nabla}^3{\hat{y}}_t={\nabla}^2{\hat{y}}_t-{\nabla}^2{\hat{y}}_{t-1}=6d$∇3y^​t​=∇2y^​t​−∇2y^​t−1​=6d
• 指数曲线预测模型$\hat{y}_t=ab^t$y^​t​=abt
  环比发展速度为一常数$\frac{\hat{y}_t}{\hat{y}_{t-1}}=b$y^​t−1​y^​t​​=b
  对数的一阶差分为一常数$\nabla(\lg\hat{y}_t)=\lg b$∇(lgy^​t​)=lgb
• 修正指数预测模型$\hat{y}_t=k+ab^t$y^​t​=k+abt
  
  一阶差分为指数函数形式，即一阶差分后的环比为常数$b$b：$\nabla{\hat{y}}_t={\hat{y}}_{t}-{\hat{y}}_{t-1}=a(b-1)b^{t-1}$∇y^​t​=y^​t​−y^​t−1​=a(b−1)bt−1
• 龚珀兹曲线(S型曲线类型I）预测模型$\hat{y}_t=ka^{b^t}(k>0, a>0, b>0)$y^​t​=kabt(k>0,a>0,b>0)
  当$0&lt;a&lt;1$0<a<1时，曲线存在拐点$(\frac{\ln [-(\ln a)^{-1}]}{\ln b}, \frac{k}{e})$(lnbln[−(lna)−1]​,ek​)（e为自然常数）
  
  对数后为修正指数曲线，即对数后的一阶增长量的环比系数为常数b：$\ln{\hat{y}}_{t}=\ln k+(\ln a){b^t}$lny^​t​=lnk+(lna)bt
• Logistic曲线（S型曲线类型II）预测模型$\hat{y}_t=\frac{1}{k+ab^t}$y^​t​=k+abt1​
  曲线存在拐点$(\frac{\ln k-\ln a}{\ln b}, \frac{1}{2k})$(lnblnk−lna​,2k1​)
  倒数为修正指数曲线，即导数后的一阶增长量的环比系数为常数b：$\frac{1}{\hat{y}_t}=k+ab^t$y^​t​1​=k+abt

龚珀兹曲线(S型曲线类型I）与 Logistic曲线(S型曲线类型II)的对比

• 对于同一预测问题，龚珀兹曲线在靠近市场极限值的时候，增长速度比Logistic曲线要慢
• 对于同一预测问题，龚珀兹曲线的预测值在拐点以后比Logistic曲线低，即Logistic曲线比龚珀兹曲线更快地收敛

曲线的拟合方式