【区块链】椭圆曲线数字签名算法(ECDSA)

时间:2024-05-03 07:07:17

本文主要参考:

一文读懂ECDSA算法如何保护数据
椭圆曲线数字签名算法

1. ECDSA算法简介

  ECDSAElliptic Curve Digital Signature Algorithm 的简称,主要用于对数据(比如一个文件)创建数字签名,以便于你在不破坏它的安全性的前提下对它的真实性进行验证。
  你不应该将 ECDSA 与用来对数据进行加密的 AES(高级加密标准)相混淆。ECDSA 不会对数据进行加密、或阻止别人看到或访问你的数据,它可以防止的是确保数据没有被篡改。
  ECDSA 原理非常简单,有一个数学方程,在图上画了一条曲线,然后你在这条曲线上面随机选取了一个点作为你的 原点 G。接着你产生了一个 随机数 k,作为你的 私钥,最后你用上面的 随机数 k原点 G 通过一些复杂的魔法数学方程得到该条曲线上面的第二个点,这是你的 公钥 P

  当你想要对一个文件进行签名的时候,签名本身由两部分组成,称为 r 和 s 。通过 私钥k(随机数) 和文件的 哈希 组成一个魔法数学方程,这将给出你的签名的 s 部分。取 公钥 P 的 x 轴即为签名的 r 部分。为了验证签名的正确性,你需要 公钥 P 和签名 s、r组成一个魔法数学方程,该方程计算会得到一个坐标点,如果该坐标点的 x 轴刚好为签名中的 r,那么即可认为改签名是有效的。

2.椭圆曲线密钥生成

  像 y 2 = x 3 + a x + b y^2 = x^3 +ax+b y2=x3+ax+b 这样的式子通常画出来是个椭圆曲线,如下图所示:

  画一条直线与椭圆曲线产生三个交点(P、Q、-R),我们称 P + Q = R,R 即为 -R 关于x轴的对称点(请注意这里的 + 实际指的是第三个交点的 x 轴对称点)。
  若以椭圆曲线的某一切点 G 做一直线,则直线与椭圆曲线的另一交点即为 -2G,其关于x轴对称点即为 2G 点,若 2G 点与 G 点连接即可得到 3G 点,以此类推,即可得到 kG 点。
  引入 G 点的好处是可以实现快速寻找,我们以 G 点做切线即可得到 2G 点,以 2G点为切线即可得到 4G 点,以此类推,这样的寻找过程,大大的减少了寻找次数。

  椭圆曲线还有一个特性就是,我们以 G 为起点经过 k 次寻找后,得到 kG 点这一顺序计算过程是比较简单的,但如果我们已知 G 点要得到 kG 点是经过多少次寻找得到的是比较困难的,我们只能对 k 一个一个尝试,当 k 比较大时,k 的寻找过程是及其困难的,因此,这一过程是ECDSA算法背后安全性的基础,而这一原则也被称为 单向陷门函数

比特币的椭圆曲线一般是采用以下函数:
y 2 = x 3 + 7 , a = 0 , b = 7 y^2 = x^3+7,a=0,b=7 y2=x3+7a=0,b=7
开始的节点 Generator(G) 坐标为:
G x = 0 x 79 B E 667 E F 9 D C B B A C 55 A 06295 C E 870 B 07029 B F C D B 2 D C E 28 D 959 F 2815 B 16 F 81798 Gx = 0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798 Gx=0x79BE667EF9DCBBAC55A06295CE870B07029BFCDB2DCE28D959F2815B16F81798
G y = 0 x 483 A D A 7726 A 3 C 4655 D A 4 F B F C 0 E 1108 A 8 F D 17 B 448 A 68554199 C 47 D 08 F F B 10 D 4 B 8 Gy = 0x483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8 Gy=0x483ADA7726A3C4655DA4FBFC0E1108A8FD17B448A68554199C47D08FFB10D4B8
私钥 k 一般是选择比较大的随机数,通过开始节点 G 与私钥 k,我们即可得到公钥节点 P

3.椭圆曲线数字签名实现

  假设Alice要给Bob发送消息 M,Alice 根据 起始点 G 与选择的 随机数(私钥) k 可得到 公钥 P,然后用 私钥 k 与 要发送的消息M的哈希值 HASH(M) 相乘得到 s,然后将要发送的信息 M 与 s 一同发送给 Bob。Bob得到信息后,通过Alice的 公钥 PHash(M) 相乘得到 Y,然后将 s 与 G 相乘得到X,如果X=Y则改签名即为有效,具体过程如下图所示:
在这里插入图片描述
X=Y合理性证明:
X = H a s h ( M ) ∗ P = H a s h ( M ) ∗ k ∗ G = s ∗ G = Y X=Hash(M) * P=Hash(M)*k*G=s*G=Y X=Hash(M)P=Hash(M)kG=sG=Y
  虽然以上过程实现了数字签名,但是以上的签名过程是存在一定漏洞的,因为 Bob 得到的数据有 Alice 的公钥 P、s、以及起始坐标 G,根据 G 与 P 是推断不出私钥 k 的,但是 k 可由 s 计算得到 k = s / H a s h ( M ) k = s/Hash(M) k=s/Hash(M),因此,科学家为其又想了新的办法。

签名过程:

  • 随机产生一个随机数 e ,通过计算得到 e G = Q eG = Q eG=Q
  • 随机产生一个随机数 k 作为私钥,计算得到 k G = P kG = P kG=P P P P 即为公钥,然后记录下 P P P x x x 坐标记为 r r r
  • 利用 SHA1 计算要传递信息 M M M 的哈希值 z z z
  • 利用方程 s = ( z + e ∗ r ) / k s = (z+e*r)/k s=(z+er)/k 计算得到 s s s
  • 要传递的数据即为 原始数据MM的Hash值zrs

验证过程:

  计算 z ∗ G s + r ∗ Q s = P \frac{z*G}{s}+\frac{r*Q}{s} = P szG+srQ=P ,若左右相等,则即为有效签名。

签名验证过程:
在这里插入图片描述

验证以上公式有效性:
z ∗ G s + r ∗ Q s = z ∗ G + r ∗ Q s = z ∗ G + r ∗ e ∗ G s = ( z + r ∗ e ) ∗ G s = ( z + r ∗ e ) ∗ G ∗ k ( z + r ∗ e ) = k G = P \begin{aligned} \frac{z*G}{s}+\frac{r*Q}{s}&=\frac{z*G+r*Q}{s}\\&=\frac{z*G+r*e*G}{s}\\&=\frac{(z+r*e)*G}{s}\\&=\frac{(z+r*e)*G*k} {(z+r*e)}\\&=kG\\&=P\end{aligned} szG+srQ=szG+rQ=szG+reG=s(z+re)G=(z+re)(z+re)Gk=kG=P
由于两侧求得的都为坐标,比较 x 轴即可。

  以上签名过程中被外界所指的参数有 公钥P公钥Q起始点Grs,我们可以看到在上面可由 s 求出密钥 k 的漏洞在现在的签名中不存在了,因为 s = ( z + e ∗ r ) / k s = (z+e*r)/k s=(z+er)/k,其中有两个未知参数 e 与 k,所以此签名过程比上面的更加完备了。

  由于计算过程中所得数据要在规定的字节范围内,所以在实际代码中要进行取模运算。

4. 代码实现

  以下是使用 Go 语言实现的ECDSA算法的签名与认证:
签名:

func (ecc *MyECC) Sign(msg []byte, secKey *big.Int) (*Signature, error) {
	// 随机产生随机数k作为私钥
	k,error := newRand()
	if error != nil {
		return nil, error
	}
	
	// 对要传递的消息msg进行hash运算得到z
	z_bytes := crypto.Keccak256(msg)
	z := new(big.Int).SetBytes(z_bytes)
	z.Mod(z, N)
	
	//计算得到私钥k的公钥P,并求出其x坐标作为r
	P := Multi(G,k)
	r := new(big.Int).Mod(P.X,N)
	
	// 计算要传递的参数s
	s := new(big.Int).Mul(r, secKey)
	s.Add(s, z)  
	s.Mul(s, Inv(k, N))  
	s.Mod(s, N)  

	// 传递s与r
	s_r := &Signature{s, r}

	return s_r, nil
}

验证:

func (ecc *MyECC) VerifySignature(msg []byte, signature *Signature, pubkey *Point) bool {
	// 获得s与r
	s, r := signature.s, signature.r
	
	// 获得传递信息msg的hash值z
	z_bytes := crypto.Keccak256(msg)
	z := new(big.Int).SetBytes(z_bytes)
	z.Mod(z, N)
	
	// 使用费马小定理求得1/s
	s_inv := Inv(s, N)
	
	// 取u = z/s
	u := new(big.Int).Mul(z,s_inv)
	u.Mod(u, N)
	
	// 取v = r/s
	v := new(big.Int).Mul(r,s_inv)
	v.Mod(v, N)
	
	// 计算u*G与v*Q
	uG := Multi(G,u)
	vQ := Multi(pubkey,v)

	// 计算u*G+v*Q得到R,并取出其x轴
	R := Add(uG,vP)
	Rx := new(big.Int).Mod(R.X,N)
	
	// 比较判断是否相同
	if Rx.Cmp(r)==0{
		return true
	}else{
		return false
	}

}