Haskell 中的 Functor Applicative Functor 和 Monad ·

整理一下《Learn You a Haskell for Great Good !》介绍的 Funtor ，Applicative Funtor 和 Monad 。

并不打算写 Monad 相关的教程 ╮(╯▽╰)╭

##柯里化

柯里化（Currying）是将多个参数的函数化成一系列单个参数函数组合的技术。

多参函数柯里化后传递和使用都更加灵活。

很多语言支持手动柯里化。这个过程很简单。比如在 JavaScript 中


function (a,b){
  return a   b;
}

// 对第一个参数柯里化
function OnePlus(b){
  return 1   b;
}

// 对第二个参数柯里化
function plusOne(a){
  return a   1;
}

在 Haskell 中多参函数接受参数不全时，会自动柯里化，返回一个接受剩余参数的函数。这个过程称为偏应用（Partial Apply，部分应用）

Prelude> ( 1) 2
3 
-- ( 1) 是一个接受整形参数的函数，返回该参数   1 后的结果。
Prelude> (1 ) 2
3 
-- (1 ) 是一个接受整形参数的函数，返回 1   该参数后的结果。

两个函数的类型是这样的

Prelude> :t ( 1)
( 1) :: Num a => a -> a
Prelude> :t (1 )
(1 ) :: Num a => a -> a

类型签名

类型签名，或者说类型声明，用于声明函数的类型，如参数的类型，接受几个参数，返回类型等。

上面 ( 1) 函数的类型是

1 2	Prelude> :t ( 1) ( 1) :: Num a => a -> a

从左往右看，( 1) 说的是函数名。 :: 类型说明操作符。可读为「……的类型是」

Num a 是一种类型约束。这部分很像变量声明，Num 指的是数字类型。 a 是变量名，可以任意取，习惯上为了方便偷懒使用单个字母。所以 Num a 的意思是 a 的类型为 Num 。

=> 表示推出。用于分隔类型约束和函数签名的主体。

a 表示接受一个变量 a 型的参数

-> 表示返回

a 因为是在函数最后，所以就是返回一个 a 类型的参数。

Functor

Functor 是可以应用 fmap 的类型。

fmap 的类型是

1 2	Prelude> :t fmap fmap :: Functor f => (a -> b) -> f a -> f b

这里的签名有括号。不影响结果。可以简单的认为把 (a -> b) 视为接受 a 返回 b 的函数。

从签名中可以看出，fmap 接受一个函数 a -> b ，再接受一个 Funtor f 类型的参数 a ，返回一个 Funtor f 类型的 b

把签名改一下，改成fmap :: Functor f => (a -> b) -> (f a -> f b)

这样理解为接受一个函数返回另外一个参数和返回值都是 Funtor f 类型的函数

看具体的例子。比如 Maybe 是一个 Funtor 。

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instance Functor Maybe where  
    fmap f (Just x) = Just (f x)  
    fmap f Nothing = Nothing

应用

Prelude> fmap ( 1) (Just 3)
Just 4
Prelude> fmap ( 1) Nothing
Nothing

并不是实现了 fmap 的实例都能称为 Funtor 。要想成为 Funtor 必须满足 Functor Law （函子律）。

1 2	fmap id = id fmap f . g = fmap f . fmap g

第一条中 id 是一个返回自身的函数。也就是 x -> x 。fmap id = id 实际上是 point-free 写法，也就是无参写法。

写得完整一点是 fmap id x = id x 。意思是 fmap 应用返回自身的函数相当于直接应用返回自身的函数。

Prelude> fmap id (Just 3)
Just 3
-- fmap id (Just 3) = Just (id 3) = Just 3
Prelude> id (Just 3)
Just 3
-- id (Just 3) = (x -> x) (Just 3) = Just 3

第二条说的是分配律。也就是应用两个函数的组合等用于分别应用两个函数结果的组合。

写的完整一点是 fmap f . g x = fmap f (fmap g x)

Prelude> fmap ( ( 1) . (*2) ) (Just 3)
Just 7
Prelude> fmap ( 1) (fmap (*2) (Just 3))
Just 7

Applicative Functor

Applicative Functor 是可以应用 pure 和 apply (<*>) 的 Funtor

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class (Functor f) => Applicative f where  
    pure :: a -> f a  
    (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

pure 的类型是 a -> f a ，用于将类型 a 转化为 Funtor f 类型的函数。

<*> 的类型是 f (a -> b) -> f a -> f b ，用于取出 Funtor f 类型中函数 a -> b ，再接受一个 Funtor f 类型的参数 a ，返回一个 Funtor f类型 b 。

Maybe 是一个 Applicative Funtor

instance Applicative Maybe where  
    pure = Just  
    Nothing <*> _ = Nothing  
    (Just f) <*> something = fmap f something

应用

Prelude> pure Nothing
Nothing
Prelude> pure ( 1) <*> Just 3
Just 4
Prelude> Just ( 1) <*> Just 3
Just 4
Prelude> pure ( ) <*> Just 1 <*> Just 3
Just 4
-- 类似于柯里化后的函数的应用过程
-- pure ( ) <*> Just 1 <*> Just 3
-- Just ( ) <*> Just 1 <*> Just 3
-- Just ( 1) <*> Just 3
-- Just ( 1 3)< 大专栏  Haskell 中的 Functor Applicative Functor 和 Monad · 拖鞋党的拖鞋摊/span>
-- Just 4

同样并不是实现了 pure 和 <*> 的类型就是 Applicative Funtor 。

要想成为 Applicative funtor 必须满足 Applicative Functor Law 。

pure f <*> x = fmap f x
pure id <*> v = v
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
pure f <*> pure x = pure (f x)
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

在第一条 pure f <*> x = fmap f x 可以得到其他几条

对于 Maybe 来说是这样的

Prelude> pure ( 1) <*> Just 3
Just 4
-- pure ( 1) <*> 3 = Just ( 1) <*> 3 = fmap ( 1) 3
Prelude> fmap ( 1) (Just 3)
Just 4
Prelude> pure id <*> Just 3
Just 3
-- pure id <*> Just 3 = fmap id (Just 3)
Prelude> fmap id (Just 3)
Just 3
Prelude> ((pure (.) <*> Just ( 1)) <*> Just (*2)) <*> Just 3
Just 7
-- ((pure (.) <*> Just ( 1)) <*> Just (*2)) <*> Just 3
-- ((Just (.) <*> Just ( 1)) <*> Just (*2)) <*> Just 3
-- (Just ((.) ( 1)) <*> Just (*2)) <*> Just 3
-- (Just (( 1) . )) <*> Just (*2)) <*> Just 3
-- (Just (( 1 . ) (*2))) <*> Just 3
-- (Just (( 1) . (*2))) <*> Just 3
-- fmap (( 1) . (*2)) (Just 3)
-- fmap ( 1) (fmap (*2) (Just 3))
-- fmap ( 1) (Just (*2) <*> (Just 3))
-- Just ( 1) <*> (Just (*2) <*> Just 3)
Prelude> Just ( 1) <*> (Just (*2) <*> Just 3)
Just 7
Prelude> pure ( 1) <*> pure 3 :: Maybe Int
Just 4
-- pure ( 1) <*> pure 3
-- Just ( 1) <*> Just 3
-- Just (( 1) 3)
-- pure (( 1) 3)
Prelude> pure ( ( 1) 3) :: Maybe Int
Just 4
Prelude> Just ( 1) <*> pure 3
Just 4
-- Just ( 1) <*> pure 3
-- Just ( 1) <*> Just 3
-- Just (( 1) (3))
-- Just (($ 3) ( 1))
-- Just ($ 3) <*> Just ( 1)
-- pure ($ 3) <*> Just ( 1)
Prelude> pure ($ 3) <*> Just ( 1)
Just 4

Monad

Monad 是可以应用 bind （>>= ）的 Applicative Funtor

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class Monad m where  
    return :: a -> m a  
    (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b

这里的 return 相当于 Applicative Funtor 的 pure 。

不出所料的 Maybe 也是一个 Monad

instance Monad Maybe where  
    return = Just  
    Nothing >>= f = Nothing
    (Just x) >>= f = f x

应用

Prelude> return 1 :: Maybe Int
Just 1
Prelude> return Nothing
Nothing
Prelude> Nothing >>= (x -> return (1 x))
Nothing
Prelude> Just 3 >>= (x -> return (1 x))
Just 4

同样并不是实现了 >>= 就是 Monad 。要想成为 Monad 必须满足 Monad Law （单子律）

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return x >>= f = f x
m >>= return = m
(m >>= f) >>= g = m >>= (x -> f x >>= g)