第三周数模选修课作业
1. 题目
Rosenbrock函数\(f(x_{1},x_{2})=100(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}+(1+x_{1})^{2}\)的最优解（极小）为\(x^{\*}=(1,1)\)，极小值为\(f^{*}=0\)，试用不同算法（搜索方向和步长搜索）求数值最优解。初值选为\(x_{0}=(-1.2,2)\)。
2. 函数图像的输出
先输出带方格的函数的图像，matlab代码如下
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);
z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
mesh(x,y,z)得到图像如下：
再画出等高线图如下：
3. 求解
在修改步长时，Matlab报了如下的错误：
>> options=optimset('linesearchtype','quadcubic')
Error using optimset (line 209)
The LineSearchType option is no longer valid. It was only used by the Gauss-Newton algorithm, which is no
longer used in Optimization toolbox solvers.从网上查阅资料得知，2011版之后的Matlab工具箱已经不再支持这一功能，因此无法利用此方法修改步长算法。我们暂时只对搜索方向进行实验。
搜索方向（'BFGS'）
程序代码如下：
>> f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
>> option1=optimset('hessupdate','bfgs');
>> [x,fval,exitflag,output]=fminunc(f,[-1.2,2],option1)结果如下
x =
1.0000 1.0000
fval =
2.0352e-11
exitflag =
1
output =
iterations: 39
funcCount: 144
stepsize: 1
firstorderopt: 4.6220e-07
algorithm: 'quasi-newton'
message: 'Local minimum found.搜索方向（'dfp'）
>> f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
>> option1=optimset('hessupdate','dfp');
>> [x,fval,exitflag,output]=fminunc(f,[-1.2,2],option1)结果如下：
x =
-0.7476 0.5334
fval =
3.1189
exitflag =
0
output =
iterations: 60
funcCount: 201
stepsize: 11.4698
firstorderopt: 11.1142
algorithm: 'quasi-newton'
message: 'Solver stopped prematurely.
fminunc stopped because it exceeded the function evalua...'搜索方向（'steepdesc'）
代码如下：
>> f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';
>> option1=optimset('hessupdate','steepdesc');
>> [x,fval,exitflag,output]=fminunc(f,[-1.2,2],option1)结果如下：
x =
1.1169 1.2482
fval =
0.0137
exitflag =
0
output =
iterations: 17
funcCount: 201
stepsize: 0.0018
firstorderopt: 0.1287
algorithm: 'quasi-newton'
message: 'Solver stopped prematurely.
fminunc stopped because it exceeded the function evalua...'