聆听大师之言，获益良多。特转于此，与君共赏。
我的 数学 之路 丘成桐教授 ( 哈佛大学 中国科学院 浙江大学 ) 二零零四年三月二十日 我在香港的郊区 ── 元朗和沙田 ── 长大。那里没有电，也没有自来水。小时候就在河中洗澡。家中有八兄弟姐妹，食物少得可怜。五岁时参加某著名小学的入学试，结果没考上。原因是用了错误的记号，如把 57 反写成 75 ， 69 反写成 96 等。 我只能上一所小小的乡村学校。那里有很多来自农村的粗野小孩。受到这些小孩的威吓，加上老师处理不善，不到一年，我便身患重病。在家中养病的半年，我思索如何跟同学老师相处。升上小六时，我已经是一群小孩的首领，带着他们在街头乱闯。 家父是位教授。他教了我不少中国文学。可是，他并不知道我曾旷课好一段日子。 ﹙ 或者这是因为我在家中循规蹈矩，他教授的诗词我也能背诵如流。 ﹚ 逃学的原因是老师不怎样教学，在学校闷得发慌，不久连上街也觉得无聊了。当时香港有统一的升中试。我考得并不好，但幸好分数落在分界线上。 *允许这些落在分界线上的学生申请私立中学，并提供学费。我进入了培正中学。培正是一所很好的中学。中学生涯的第一年乏善可陈。我的成绩不大好，老师常常对我很生气。大概刚从乡村出来， “ 野性 ” 未改吧。我热中于养蚕、养小鱼，到山上去捉各种小动物。沙田的风景美丽清新，在大自然的怀抱里，倒是自得其趣，到如今还不能忘怀。 当时武侠小说盛行，我很喜欢读这些小说，没有钱去买，就向邻居借。父亲不赞成我读这些小说，认为肤浅，但我还是偷偷去看，也看了各种不同的章回小说如七侠五义、说岳全传、东周列国志等杂书。 父亲从我小学五年级教我诗词、古文和古典小说如三国演义、水浒传、红楼梦、西厢记等。父亲坚持我在看这些小说时，要背诵其中的诗词。当时虽以为苦，但顺口吟诵，也慢慢习惯。总觉得没有看武侠小说 来得刺激。 但是真正对我有影响的却不是武侠小说。中国古典文学深深影响了我做学问的气质和修养。近代的作品，如鲁迅的也有阅读。记忆深刻的 ︰ 「路是人行出来的，自己的路更要自己去走。」 我们家中常有父亲的学生来访，往往兴高采烈的谈学问。他们讨论时常常谈及希腊哲学，虽然我对希腊哲学不大了解，但却对它留下深刻的印象。希腊学者对真理和美无条件的追求是我一生做学问的座右铭。他们对康德的哲学、对自然办证法的讨论使我莫名其妙，但是久而久之，竟然引起了我对自然科学的兴奋。西方的作品如浮士德、战争与和平等文学著作，虽有接触，但远不如中国文学对我的印象深厚。 我开始研读史学名著史记和左传。对史记尤其着迷。这不仅是由于其文字优美、音调铿锵，还是因为它叙事求真，史观独特。直到现在，我还不时披阅这书。史学大师驻足高涯，俯视整个历史，与大科学家的思入风云，干宇宙之奥秘遥相呼应。 在当时读这些文章，大多部份不能够领会，尤其困难的是读冯友兰写的新原道和新原人，但是重复的去读，总有点收获。 晋 ‧ 陶渊明 : 好读书，不求甚解，每有会意，便欣然忘食。 其实在做科学时，也往往有同样的经验，读书只要有兴趣，不一定要全懂，慢慢自然领会其中心思想，同时一定要做到 ︰ 不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 这是古人的经验，陶渊明的古文和诗有他的独特气质，深得自然之趣，我们做科学的学者也需要得到自然界的气息，需要同样的精神。 在以后的日子里，我都以此作为原则，以研读学问为乐事，不以为苦。 在父亲的循循善导下，我开始建立我对人生的看法。到如今，我读史记至以下一段时，仍然使我心志清新 ︰ 司马迁 孔子世家赞 天下君王至于贤人，众矣！当时则荣，没则已焉，孔子布衣，传十余世，学者宗之。 假如我们追求的永恒的真理，即使一时的挫折，也不觉灰心。 韩愈 : 苟余行之不迷，虽颠沛其何伤。 我读左传，始知有不朽的事情。 左传 叔孙豹论三不朽 太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此之谓不朽。 以前我以为立德跟立言没有关系，但是数十年的观察才知道立德的重要性。立德立功立言之道，必以谦让质朴为主。 我有一个学生在南京大学电视台访问自炫 ︰ 「会当凌绝顶，一览众山小」，真轻妄浮夸之言。其实远山微小，越近越觉其宏大。往往众人合作才能跨过困难的地方，在没有尝试创作性的学问时，才会说这种肤浅的说话。 在培正的第二年，我多言多动，老师要记我小过。她是我的班主任，责任心强，诚然是为我好。当她知道家父是位教授，但却拿着微薄的薪酬后，大为震动。此后在她悉心栽培下，我在课堂上规矩多了。就在这年，我们开始学习平面几何。 同学对抽象思维都不习惯。由于在家中时常听父亲谈论哲学，对利用公理进行推导的做法，我一点也不觉得见外。学习几何后，我对父亲的讲话，又多明白了几分。利用简单的公理，却能推出美妙的定理，实在令人神往。 对几何的*，提高了对数学 ── 包括代数 ── 的鉴赏能力。当你喜欢某科目时，所有有关的东西都变得浅易。我对历史也甚有兴趣。它培养我对事物要作一整体观。事件是如何发生的？到底是甚么原故？将来会如何？ 就在这时，父亲完成了他的西方哲学史。他跟学生谈话，总是说应整体地看历史。这种观念深深地影响了我。这种想法，在往后的日子中，指引我去寻找研究项目。父亲的书对我有很深的影响。 书中第一页的引言 ︰ 文心雕龙 诸子 身与时舛，志共道申。 标心于万古之上，而送怀与千载之下。 这是何等的胸襟。 哲学史的目的有三， 一曰求因，哲学思潮其源甚伙，必先上溯以求之。 二曰明变，往昔哲学思想交缠屈结，故重理其脉络，是为要务。 三曰评论，所有思潮及其流派，皆一一评论，作警策精辟之言。 这三点和自然科学的研究有密切的关系，再加上创新，则可以概括研究的方法了。 十四岁时，父亲便去世了。这或许是我一生中最大的打击。在一段颇长的日子里，对父亲离开了我和家人的事实，我都不能置信。家中经济，顿入困境，我们面临辍学。幸得母亲苦心操持，先父旧交弟子的援手，我们才幸免如此。 家中遽变，令我更成熟坚强。困境中人情冷暖，父亲生前的教导，竟变得真实起来。以前诵读的诗词古文，有了进一步的体会。我花了整整半年，研习古典文学和中国历史，藉此抚平绷紧的心弦。典丽的诗词教人欣赏自然之美。 我阅读了大量数学书籍，并考虑书中的难题。当这些难题都解决掉后，我开始创造自己认为有挑战性的题目。由个人去创造问题此后变成我研究事业中最关键的环节。学校的课本已经不能满足我了。我跑到图书馆、书店去看书。我花了许多时间打书钉，阅读那些买不起的书本。我读了华罗庚先生写的很多参考书，无论在分析或数论上的讨论，都漂亮极了。也看了很多帮助课堂解题，例如陈明哲写的一些小册子，一般来说，我会比课程早一个学期做完所有的习题，所以听数学课是一程享受。 打从十五岁起，我开始替低年级学生当家教，以帮补家计。我找到一些巧妙的方法，使成绩低劣的孩子摇身变成优等生，为此我觉得有点飘飘然。我积累了教导年青人的经验，同时也体会到教学相长的道理。 我们的数学老师十分好。他教授的内容，比课程要求来得艰深，但我觉得丝毫不费气力。其实我的同学们虽然叫苦，但是总的来说，数学都不错，这叫做取法乎其上，得乎其中。近代数学的教学方法，恐怕适得其反，取法乎其中，得乎其下。 当时我们的物理老师不太行，对此不无失望。中学时养成不了物理上的基本直观，至今于心还有戚戚焉。国文老师却是无懈可击。他是我的父执辈。他教导我们思想要不落俗套。 国文教师说思惟要自出机杼，读好书之余，烂书也无妨一读，以资比较。因此我甚么书都啃。他这种观点，就是放诸我日后的科学生涯中，也有其可取之处。作文堂的一个典型题目 ︰ 猪的哲学观 于是大伙儿兴高采烈，*发挥。在班里我并非名列前茅，数学科的等级也不见得最高。但我比同班诸子想得更深，书也读得更多。 中学读书，除数学外，真正对我前途有影响的是国文和历史。现在来谈谈中学国文和历史对我的影响。最重要的是立志，觉得做学问是一辈子的志愿。 典论 论文 曹丕 盖文章，经国之大业，不朽之盛事。年寿有时而尽。荣乐止乎其身。二者必至之常期，夫若文章之无穷。是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后。 立志之后，必需培养兴趣，而做习题和思考是不二法门 ︰ 论语 学而时习之，不亦乐乎。学而不思则罔，思而不学则殆。 楚辞 路曼曼其修远兮 吾将上下而求索 做学问要有兴趣，才能深入，但追求学问的道路曲折有致，必须要有毅力，才能持久。 楚辞 亦余心之所善兮 虽九死其犹未悔 抽思 惟郢路之辽远兮 魂一夕而九逝 在中学和大学的教育中最重要的一环是 ︰ 培养气质 孟子 ︰ 我知言，我善养吾浩然之气。 曹丕 ︰ 譬诸音乐，曲度虽均，节奏同检，至于引气不齐，巧拙有素，虽在父兄，不能以移子弟。 岑参 ︰ 性灵出万象。 但是师友和读书的环境却足以转变人的情怀雅志。 汪中 ︰ 抚弦动曲，乃移我情。 做学问，无论是自然科学或文学都有气质的问题，从文章中，往往可以看出作者的修养。古代注重音乐，从乐声中可以看见国家的盛衰，也是同样的道理。 季札观乐 ﹙ 左传 ﹚ 吴公子札来聘，请观于同乐，使工为之歌周南召 南。曰美哉，始基之矣。 犹未也，然勤而不怨矣 …… 为之歌郑，曰美哉，其细已甚。民不堪也，是其先亡乎。 为之歌齐，曰美哉，泱泱乎，大风也哉。表东海者，其太公乎 …… 为之歌大雅，曰广哉，熙熙乎，曲而有直体，其文王之德乎。 在培养气质上，师友的关系至为重要。 韩愈 师者，传道授业解惑者也。 论语 三人行，必有我师焉。 在与师友相交之际，言必及义，而最重要的善于发问。善问者如叩钟，问之大者则大鸣，问之小者则小鸣。中国科学家最欠缺的是发问的精神。历史上最著名的是屈原的天问篇 ︰ 遂古之初，谁传道之，上下未形，何由考之 …… 。日月安属，列星安陈。 以后的学者很少有这种精神，可能是科学不发达的一个原因。 善于发问后，才能寻找到自己志趣所在，才能够择善而固执之。 楚辞 民生各有所乐兮 余独好修以为常 虽体解吾犹未变兮 岂余心之可惩 涉江 苟余心其端真兮 虽僻远之何伤 很多同学开始时读书读得很好，以后就灰心了，不求上进，一方面是基础没有打好，又不敢重新再学，一方面是跟师友之间的关系没有搞好，言不及义，得不到精神上的支持。有些则名利熏心，不求上进。我有些学生毕业时很踏实，受到表扬，就以为自己了不起，事实上学问还没有成熟就凋谢了。 离骚 何昔日之芳草兮，今直为此萧艾也。 岂其有他故兮，莫好修之害也。 以下引韩愈作文的态度实在值得各人去参考 ︰ 韩愈 答李翊书 始者非三代两汉之书不敢观，非圣人之志不敢存，处若忘，行若遗，俨乎其若思，茫乎其若迷。当其取于心而注于手也，惟陈言之务去，戛戛乎其难哉！ …… 其观于人也，毁之则以为喜，誉之则以为忧，以其犹有人之说者存也。如是者亦有年，然后浩乎其沛然矣。吾又惧其杂也，迎而距之，平心而察之。其皆醇也，然后肆焉。虽然，不可以不养也。行之乎仁义之途，游之乎诗、书之源，无迷其途，无绝其源，终吾身而己矣。 一九六六年我进了中文大学。虽然对历史抱着浓厚的兴趣，我还是选择了数学作为我的事业。 就在这时，中学时念的高等数学渐渐消化，开始时还不大懂，但一下子全都懂了。我比班中同辈高明不少。 大学的数学使我大开眼界。连最基本的实数系统都可以严格的建立起来，着实另人兴奋万分。 当我了解数学是如此建构后，我写信给教授，表达我的喜悦。这是本人赏析数学之始。一位刚从柏克莱毕业的博士来了香港，他名叫史提芬色拉夫 ﹙ Stephen Salaff ﹚ 。他对我大为赞赏，我们合写了一本有关常微分方程的书。 另外一位老师布狄 ﹙ Brody ﹚ 来自普林斯顿。他有一套独特的教学法。他找来一本高深的数学著作，然后要求学生在书中找寻错误，并提出改正的方法。这是让我们不要盲目依赖书本的良方。同时也训练了我对书本上定理采取存疑的态度。我有时将某些定理推广了，在课堂上说出来，他听了很高兴。 这些教导的重要性在于 ── 培养成独立思考的习惯 ── 在人前表达数学同时在表达数学的时候，找出自己的弱点，与同学和老师一同切磋。 这不论对自己或对自己日后的教学都十分要紧。 古人说学无常师，其实教亦无常法，有之，因人而施教也。孔门弟子问仁，孔子对每个人有不同的回答方法，而孔门弟子因此各有所长。孔子教学有礼乐射御书数。西方 Plato 教学有几何、数论、天文和音乐，合称数学。古今中外都以培养通材为训练领袖的主要过程。 现代社会需要政界和工商业的领袖，也需要大量的工人、会计师、律师等的白领阶级和蓝领阶级，训练他们可能有不同的层次。但是有一点很重要的 ︰ 作为一个知识分子必需要具有推理的能力。自古以来最要紧和最富用途的就是三段论证方法。在学校学习逻辑方法最好的莫过于平面几何的公理系统。熟习证明使我们思考清晰。 良好的中学教科书，必需要包含公理系统的学习。平面几何的本身可能没有用途，但是它的方法却是最重要的。正如朱自清写的荷塘月色的内容可能不重要，但我们要学他的文字的应用，书写流畅的做法。学习需要融汇贯通，更需要博闻强记。 有些人以为数学每一步都可推理，不宜强记，这是极为可笑的说法，我还没有亲眼看过一个伟大的数学家有这种能力。即使在做研究的时候，我们不能不记忆前人或近人的工作，使我们能够向前作新的研究。 往往记熟某一门技巧后，我们会突然融汇贯通，所以多做习题是很紧要的事，假如能够让学生在课堂上有所表现，不单老师对他们了解，他们也了解自己有甚么不懂的地方。 学生既要强记，亦要贯通，两者能混而为一乃是绝妙之处。同一个问题，可能有超过很多个不同的解法，学生能用不同的方法解题，值得鼓励。譬如来说，毕氏定理是数学中最基本的定理，古往今来有无数的不同证明，能够举出一些不同的证明，会让学生了解不同的看法可以达到同一的目标。近代数学的大发展，往往起源于用不同的手法解决同一的问题，所以不可少看这些不同的证明。 数学既可以实用，亦独立为一至为美丽的学科，习题可以重视实用，但绝对要讨论看来无用但美丽的工作，重要的数学的发展可以从实用而形成，也可以追求纯美而成功，要注意的是 ︰ 所有重要的实用数学都建基在纯美的数学上。数学家和数学是分不开的，能够多谈数学历史和数学家的经历，会对培养学生的兴趣有极大的帮助。 一本数学教科书能够引导学生的兴趣是一本最成功的教科书，可以讲故事 ﹙ 数学家的故事、创造这些命题的过程、中国数学、希腊数学、巴比伦的数学、阿拉伯的数学，都是有意思而影响着近代数学家思维的常识。 ﹚ ，可以跟其它学科如物理、工程、经济、音乐等等沟通的数学都值得讨论。能使学生以学数学为乐乃是成功的教科书。 虽然只读了三年大学，已经完成了大学的课程。在色拉夫教授的帮助下，我进入了柏克莱的研究院。柏克莱的数学系当时在世界数一数二。我八月入校，便认识了陈省身教授。他后来成为我的论文导师。在香港时我醉心于极度抽象的数学 ﹙ 当然我的分析功夫也很扎实 ﹚ ，觉得数学愈广泛愈好。我打算念泛函分析，已经学了不少这方面的东西，包括丹福一史华滋有关的巨册，还有不少有关算子代数的书。到柏克莱后，认识不少卓越的学者，我的看法改变了。 我如饥似渴地从他们处学习不同的科目。从早上八时到下午五时我都在上课 ﹙ 有时在班上吃午饭 ﹚ 。这些学科包括拓朴、几何、微分方程、李群、数论、组合学、概率及动力系统。我并非科科都精通，但对某几门学问格外留神。学拓朴时，发现跟以前学的完全不同。班上五十人，每个人看来都醒目在行，比我好多了。他们表现出色，说话条理分明。 于是我埋首做好功课，不久之后，我发现自己毕竟也不赖。关键是做好所有棘手的题目，并把这些题目想通想透。我读了约翰米拿 ﹙ John Milnor ﹚ 的一本书，对里面讲到的曲率的概念深深着迷。米拿是位卓越的拓朴学者。我开始思考与这书有关的问题，并大部分时间呆在图书馆。当时研究生并没有办公室。柏克莱名牌教授不少，然而不久之后，我对他们竟有英雄见惯的感觉。在图书馆里我读了不少书藉和期刊。 在柏克莱的第二个学期，我渐渐能证出一些不简单的定理。这些定理与群论有关。在崇基时，我跟老师聊天时曾谈及有关的内容，我现在把它用到几何上去。教授都为我的进展而惊讶不已，欣慰非常。其中一位教授开始与我合作，写了两篇论文。陈省身教授其时正在放年假。当他回来时，对我的表现甚为嘉许。 纵然如此，对这些工作我倒不觉得怎样。摩里教授 ﹙ Charles B. Morrey ﹚ 有关非线性偏微分方程的课，另人难忘。他教授的非线性技巧，当时并不流行。他的书也佶屈聱牙。但我隐隐感觉到他发展的技巧十分深奥，对未来几何学的发展举足轻重。我用心地学习这些技巧。虽在盛名之下，听他课的学生同事都不多。到学期终结时，我竟成为他班上唯一的学生。他索性就在办公室里授课了。这科目后来成为我数学生涯的基石。 完成几篇文章后，陈教授到处说我是何的出色，虽然他对我的工作认识不深。我开始全盘地思考数学，尤其是几何。我也试图去研究几何学的其它问题，可是进度缓慢。这年夏天老友郑绍远从香港来了，我们在校园旁租了一所 〝 柏文 〞 ，心情更加开朗了。 就在这个夏天，我请求陈教授当我的论文导师，他答应了。约一个月后，他告诉我，我在一年级时的文章，已够格作为毕业论文。我有点闷纳，心想这些工作还不够好，而且我还希望多学点东西。就这样，在第二个学年中我学了不少复几何及拓朴。陈师对我期望甚殷，他提议考虑黎曼猜想。十分遗憾的是，到目前为止，我还没有想过它。 代而之者，我尝试去了解空间的曲率。我确认卡拉比 ﹙ E. Calabi ﹚ 在五十年代作出的某建议，会是理解这概念的关键。当时我不认为卡拉比是对的。我开始对此深思苦想。这并不是个当代几何学者研究的标准课题，明显地，这是分析学上的一道难题，没有人愿意跟它沾上边。 我渐渐养成把分析作为工具引进几何中的志趣。在此之前，曾有人把非线性理论用于三维空间的曲面上。但我考虑的，却是任意维数的抽象空间。由于摩里教授及陈师对极小曲面的兴趣，我亦对这项目深深着迷。对调和映照尤其情有独锺，并因此钻研了变分法。 我对几何中的所有分析内容都感兴趣。简而言之，就是要把非线性微分方程和几何融汇成一体。要了解非线性方程，就必须先了解线性方程。因此我建立了在流形上调和函数的主要定理。在我的影响下，郑绍远研究了有关的特征值及特征函数等问题。我们合作写了几篇重要文章，到而今还是这项目的基础。 毕业时我得到几份聘书。陈师提议我到高等研究所，那儿的薪水不及哈佛提供的一半。但我还是到那儿去了。在高等研究所我认识了其它科目出色的数学家。同时提升了对拓朴，尤其是空间对称理论的鉴赏力。事实上，利用分析的想法 ﹙ 在流形上的群作用 ﹚ ，我解决了这科目的一些重要课题。 由于签证的问题，我到了纽约石溪分校。当时石溪是尺度几何的重镇，事实上那儿真的不错，聚集了一批朝气勃勃的几何学家。我学习他们的技巧，但并不认为那是几何的正确方向。一年后我到了史丹福，当时那里并没有几何学者。史丹福环境安宁，非线性偏微分方程很出色。在那里我碰见好友李安西门及共同的弟子孙理察。我们一起拓展了在几何上的非线性分析。 晋 ‧ 陶渊明 久在樊笼里，复得返自然。 我刚到史丹福时，一个几何大会正在举行。有位物理学家应邀就广义相对论发言。当时我对物理还不算在行。但对他提及有关相对论的一个几何问题却一见倾心。赋予空间的数学解释，与空间物理导出数学问题，两者皆令人神往。 这问题当时对我而言，还是遥远不可及。但我对它念念不忘。在会议期中，我找到了一个办法，去反证卡拉比的提议。我发表了我的想法，反应似乎不错，没人提出异议。人们都松了口气，毕竟大家都猜对了，卡拉比猜想是不对的。 两个月后，卡拉比教授写信给我，厘清了我的一些想法。我在推理中找到一个严重的决口。在我的研究生涯中，这可说是最痛苦的经历了。我辗转反侧，不能成眠。 差不多两个星期都失眠，眼见名誉因犯错 ﹙ 虽然我没把想法成文发表 ﹚ 而毁于一旦。经过反复仔细审阅每个步骤后，我相信问题反过来才对。为卡拉比猜想举出反例，其论据是先假设它是对的，然后考虑其后果。数年后，当我解答了这个猜想，很多有关的自然推论就水到渠成了。 意识到卡拉比猜想是对的后，我便朝着正确的方向迈进。在准备最后的证明前，需要大量的准备工作。我和郑绍远合作研究蒙奇 ─ 安培方程、仿射几何、极大曲面等相关问题。与孙理察合作搞调和影照，与孙理察和李安西门搞极小曲面。在短短两年里，我们于与几何有关的非线性分析，硕果累累。这是几何学的黄金时代。 屈原 固余心之所善兮， 虽九死而犹未悔。 新婚伊始，我找到完成卡拉比猜想的正确想法。我终于掌握了凯勒 ﹙ Kahler ﹚ 几何中的曲率了。一些老大难的代数几何问题，都因卡拉比猜想的证明而解决掉。当时我认为我首先了解到 Kahler 几何的曲率结构后，有物我相融的感觉 ︰ 落花人独立 微雨燕双飞 纽约时报 2003 年 9 月 2 日 宇宙一悬案 众人答案殊 弦理论中的一个困难在于它要用十维的时空来描述，而我们生存的空间只有四维而已。史创敏格 ﹙ Strominger ﹚ 博士回忆起他在找到数学家丘成桐博士的一份论文时的万分喜悦之情。丘博士现在任教于哈佛大学及香港中文大学。在这篇文章里他证明了尤金 尼奥 ‧ 卡拉比 ﹙ Eugenio Calabi ﹚ 博士提出的猜想。卡拉比博士现已从宾夕凡尼亚大学退休。 猜想指出这些额外的维数虽然不可捉摸，但在微观下可以想象它们卷曲起来，就像地毯的小毛圈。 完成卡拉比猜想的证明后，我看出自己建立了融合两门重要科目 ── 非线性偏微分方程和几何 ── 的架构。一九七六年我在 UCLA 碰见老友麦克斯 ﹙ Meeks ﹚ ，他是我在研究院时的同学。他的景况不大好。 Meeks 是位具原创性的数学家，我向他提议合作，试图把极小曲面和三维流形的拓朴联系起来。 结果成绩斐然。我们解决在这两门科目中的两个经典难题 ︰ 1. 当一块肥皂膜的边界是凸时，膜面不能自相交。 2. 史密斯猜想的证明，这是与霍斯顿 ﹙ Thurston ﹚ 工作结合的成果。 一旦把方向校正了，很多古典问题便能迎刃 而解。 次年，我回到柏克莱访问，并组织了 “ 几何上非线性问题 ” 的研讨班。孙理察和郑绍远都在那儿。和理察一起，我们终于解决了那个使我念念不忘的有关广义相对论的难题。这道难题叫做正质量猜想，它在广义相对论中占基本的地位。 ﹙ 只有当质量为正时，时空才能稳定。 ﹚ 一九七八年我又回到史丹福。和萧荫棠一起，我们利用极小曲面作为工具，解决了复 几何上有名的法恩科 ﹙ Frenkel ﹚ 猜想。 我也利用了调和映照作为工具去研究离散的群对称。这些想法，迄今仍有其价值。利用我们在广义相对论的工作，孙理察和我研究了具正纯量曲率的流形的结构。 一九七九年我们在高等研究所举办微分几何年。差不多所有几何学家都来了。我们为几何学厘定了发展的方向。我提出一百条在几何里的有趣问题。到目前为止，有的已经解掉了，但有的还是迄立不动。七十年代确是几何学的丰收期。 到了七十年末期，我在数学界可说是略有名望。对于我解决的难题，媒体也有广泛报导。然而，认为我的奋斗目标是奖项，是成名成家，那就不对了。这些都不是本人研究的首要目标。我对数学的兴趣，源于人类智能足以参悟自然的欣喜。从几何上看，大自然的美是永恒不朽的。 与朋辈如孙理察、西门、郑绍远、麦克斯 ﹙ Meeks ﹚ 、乌兰贝克 ﹙ K. Uhlenbeck ﹚ 、汉米尔顿 ﹙ R. Hamilton ﹚ ，和稍后的当劳逊 ﹙ S. Donaldson ﹚ 、塔贝斯 ﹙ H. Taubes ﹚ 、惠斯根 ﹙ G. Huisken ﹚ 等人的共同努力下，几何上的非线性分析已汇成大流。它于探讨自然之美中的作用不容低估。晚近的进展更显示它在物理及其它应用科学中的重要性。 当几个重要领域 ── 几何、非线性分析、代数几何、数学物理 ── 自然地融合在一起后，经典的老大难题便会迎刃而解。解决难题可以视为人们理解大自然的路灯柱。 但是几何学实在超越了科学家的想象，它日新月异，观念层出不穷，伟大的数学家高斯曾说 ︰ C. F. 高斯 (1817) “ 窃意以为几何之本，其真伪实非人类心智所能证明，亦非人类心智所能理解者，余意于此，日久迩坚。此等空间之属性，莫测高深，后之来者，或有灼见，得窥堂奥。惟今之世，吾辈宜视几何学与纯先验之算术为殊途，宜彼与力学并列也。 ” 在过去十年间，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在几何中的作用。为了从物理中掌握动机后面的直观，我花了不少时间参加物理系办的研讨班。在与理论物理学家的交往中，我们获得了一些数学上深刻的定理。其中重要的概念是所谓对偶性。 对偶性这概念，优美典雅。它指出在某理论中的强作用等同于另一理论中的弱作用。这与中国道家或阴阳有不少共通之处。但对偶性严格得多，同时它是定量的。利用它我们可以算出某些数学量。如果用其它方法来进行，那是极度困难的。 为数学而数学，实属显然，何须三思。于无用诸物理学之种种数学理论，均需一视同仁，与其它理论无分轩轾。 - 彭加箂 使余复稚年，童蒙初习，则愿从柏拉图之教晦，自数学始。 - 伽里略 关于香港数学课程的评论，在上述个人的经历中，我已经指出我在香港受到良好的数学教育，但是由我接触到的香港学生和教育工作同事的谈论中，我发觉香港的数学教育质素，与当年的名校相比，质素有明颢的下降。 一方面注重普及教育，在有意和无意间，将有兴趣和有意义的数学教育忽略。即使学生质素良好，只是学习浅易的课题，既无挑战性又无兴趣，慢慢就丧失学习的目标，而自暴自弃。在九零年代，香港很多好的中学生高中到外国留学实在不少，但是即使留学的中学生，大多不想念研究院，与五零年代到八零年代中叶大不相同，留在香港读大学的学生，对基本科学的兴趣也极为缺乏。 但是这三年来香港学生开始对学问又重新拾起兴趣，但是太过注重普及教育，而不教育美丽而能够帮助训练学生逻辑的几何学，是一个很大的错误。 数学里面种种的分枝，如概率论、线性方程组、微积分、代数和它们在物理学、工程学和经济学上的应用都应当使学生有所接触，更重要的是要求他们做习题，融会贯通的唯一方法是多学多思考多讨论，并多接触课外书。
