一道C++面试题 分析浮点数的二进制表示

时间：2024-04-15 15:24:53

1、以下两条输出语句分别输出什么？

float a = 1.0f;
cout << (int)a << endl;
cout << (int&)a << endl;
cout << boolalpha << ( (int)a == (int&)a ) << endl; // 输出什么？
float b = 0.0f;
cout << (int)b << endl;
cout << (int&)b << endl;
cout << boolalpha << ( (int)b == (int&)b ) << endl; // 输出什么？

 

解析：

(int)&a ：把a的地址强制转换成整型

(int&)a ：把a强制转换成整形引用类型，相当于是某个整形引用，引向了a所在的32位内存区域，并将这32位当做一个整数；(int &)a的意思是将a存储单元开始的内容解释为一个int引用。

(int)a ：a在内存中的值转换成int类型；(int)a 是数值意义上的转换。

分析：这个题目涉及float在计算机中的存储问题， IEEE 754的标准就是描述的这个问题。如果这个题目放在笔试的时候应该比面试的时候容易多了。

 

1、了解：

 

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：

 

              符号位        阶码       尾数     长度
float           1          8        23      32
double          1         11        52      64

 

无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1.  符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负

2.  指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储

3.  尾数部分（Mantissa）：尾数部分

 

以单精度的浮点型为例：

指数部分（E）　占用８-bit的二进制数，可表示数值范围为0－255。　但是指数应可正可负，所以IEEE规定，此处算出的次方须减去127才是真正的指数。所以float的指数可从 -126到128.

尾数部分（M）实际是占用24-bit的一个值，由于其最高位始终为 1 ，所以最高位省去不存储，在存储中只有23-bit。

符号位：s 通过（-1）的s次幂来表示正负号。

 

 

 

以下通过几个例子讲解浮点数如何转换为二进制数

 

例一：

 

已知：整数3490593(16进制表示为0x354321)。

 

求：其对应的浮点数3490593.0的二进制表示。 

 

解法如下：

 

先求出整数3490593的二进制表示：

 

 H:    3     5    4    3    2     1   （十六进制表示）

 

 B:   0011  0101 0100 0011 0010  0001 （二进制表示）

 

        │←─────  21────→│

 

 

 

即： 

 

               1.1010101000011001000012×221

 

可见，从左算起第一个1后有21位，我们将这21为作为浮点数的小数表示，单精度浮点数float由符号位1位，指数域位k=8位，小数域位(尾数)n=23位构成，因此对上面得到的21位小数位我们还需要补上2个0，得到浮点数的小数域表示为：

 

         1 0101 0100 0011 0010 0001 00

 

 

 

float类型的偏置量Bias=2k-1-1=28-1-1=127，但还要补上刚才因为右移作为小数部分的21位，因此偏置量为127+21=148，就是IEEE浮点数表示标准：

 

                          V = (-1)s×M×2E

 

                          E = e-Bias

 

中的e，此前计算Bias=127，刚好验证了E=148-127=21。

 

 

 

将148转为二进制表示为10010100，加上符号位0，最后得到二进制浮点数表示1001010010101010000110010000100，其16进制表示为：

 

 H:     4        A       5          5         0         C         8        4  

 

 B:  0100   1010   0101    0101   0000   1100  1000   0100

 

                    |←────      21        ─────→   |

 

     1|←─8   ─→||←─────       23       ─────→ |

 

 

 

这就是浮点数3490593.0(0x4A550C84)的二进制表示。

 

例二：

 

0.5的二进制形式是0.1

 

它用浮点数的形式写出来是如下格式

 

 

 

0                01111110                 00000000000000000000000

 


符号位           阶码                       小数位

 

正数符号位为0，负数符号位为1

 

阶码是以2为底的指数

 

小数位表示小数点后面的数字

 


下面我们来分析一下0.5是如何写成0 01111110 00000000000000000000000

 


首先0.5是正数所以符号位为0

 

再来看阶码部分,0.5的二进制数是0.1,而0.1是1.0*2^(-1),所以我们总结出来:

 

要把二进制数变成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指数

 

而由于阶码有正负之分所以阶码=127+exponent;

 

即阶码=127+(-1)=126 即 01111110

 

余下的小数位为二进制小数点后面的数字,即00000000000000000000000

 


由以上分析得0.5的浮点数存储形式为0 01111110 00000000000000000000000  

 

注：如果只有小数部分,那么需要右移小数点. 比如右移3位才能放到第一个1的后面, 阶码就是127-3=124.

此处主要参考：http://blog.163.com/yql_bl/blog/static/847851692008112013117685/

2、问题的解答

对于1.0f这个数字，根据上述例子可以对进行分解整数部分和小数两部分处理，整数部分：1，它的二进制位1；小数部分为.0，它的二进制为.0。因而这个数字的二进制数为1.0。

由于1.0f为正数，因而符号位为0，即S=0；

再求阶码位： 1.0 = 1.0X2^0。即e=0，E = e + 127 = 0 + 127 = 127.转为二进制 0111 1111

再求尾数： 小数位为0，由于浮点型的尾数是23位，因而补零。M = 000 0000 0000 0000 0000 0000

最后得出浮点型1.0f的二进制表示，也就是说它的浮点数存储形式为0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000(0x3f800000)

 

(int)a ：a在内存中的值转换成int类型；(int)a 是数值意义上的转换。因此(int)a 为1.

(int&)a ：把a强制转换成整形引用类型，相当于是某个整形引用，引向了a所在的32位内存区域，并将这32位当做一个整数；(int &)a的意思是将a存储单元开始的内容解释为一个int引用。因此(int &)a是将它的浮点数存储内容(0x3f800000)转换成一个整型(106535216).

因而整个题目的答案为：1，1065353216（0x3f800000），false，0，0，true。

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