描述
http://codevs.cn/problem/1017/
给出一个n位数,在数字中间添加k个乘号,使得最终的乘积最大.
1017 乘积最大
2000年NOIP全国联赛普及组NOIP全国联赛提高组
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
1) 3*12=36
2) 31*2=62
这时，符合题目要求的结果是：31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
4 2
1231
62
本题由于比较老，数据实际也比较小，用long long 即可通过
分析
问题的关键就在于能不能看出来怎么划分.问题可以看作是在前n个数中使用k个乘号求最优解.那么前n个数中使用k个乘号是通过在前j(j<n)个数中使用k-1个乘号,其结果再乘上[j+1,n]表示的数字.如果用dp[i][k]表示在前i个数字中使用k个乘号所得到的最优解,那么dp[i][k]=max{dp[j][k-1]*[j+1,i]}(j<i).这里需要预处理出来A数组,其中A[i][j]表示[i,j]所表示的数字.
注意:
1.dp[i][k]从dp[j][k-1]来,所以要利用k-1的状态,所以k的循环应该在外层.
2.使用k个乘号,至少是前k+1个数字.
动态规划
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const int maxn=,maxk=;
int n,K;
char str[maxn];
ll A[maxn][maxn],dp[maxn][maxk]; void solve(){
for(int i=;i<=n;i++) dp[i][]=A[][i];
for(int k=;k<=K;k++)
for(int i=k+;i<=n;i++)
for(int j=k;j<i;j++)
dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[j][k-]*A[j+][i]);
printf("%lld\n",dp[n][K]);
}
void init(){
scanf("%d%d%s",&n,&K,str+);
for(int i=;i<=n;i++){
A[i][i]=str[i]-'';
for(int j=i+;j<=n;j++)
A[i][j]=A[i][j-]*+(str[j]-'');
}
}
int main(){
init();
solve();
return ;
}
记忆化搜索
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const int maxn=,maxk=;
int n,K;
char str[maxn];
ll A[maxn][maxn],dp[maxn][maxk]; ll dfs(int m,int k){
if(dp[m][k]) return dp[m][k];
if(k==) return dp[m][k]=A[][m];
for(int i=k;i<m;i++)
dp[m][k]=max(dp[m][k],dfs(i,k-)*A[i+][m]);
return dp[m][k];
}
void init(){
scanf("%d%d%s",&n,&K,str+);
for(int i=;i<=n;i++){
A[i][i]=str[i]-'';
for(int j=i+;j<=n;j++)
A[i][j]=A[i][j-]*+(str[j]-'');
}
}
int main(){
init();
printf("%lld\n",dfs(n,K));
return ;
}