经常听到有文章引用下面这句话：在同步系统中容错率可以达到50%，而在异步系统中容错率下降到33%。
实际上这句话是有问题的，早在1985年Michael J. Fischer, Nancy Lynch, 和Mike Paterson已经证明，在一个完全异步的系统中，没有任何一种共识算法可以容忍哪怕一个错误节点，史称FLP不可能性证明（FLP是他们三个人名字的缩写）。所以，上面那句话应该把“异步系统”修正为“部分同步系统”。
那么问题来了，到底什么是同步系统，异步系统，和部分同步系统呢？
同步系统（Synchronous System）
援引《Introduction to Reliable and Secure Distributed Programming》第46页中的权威定义：
1. Synchronous computation. There is a known upper bound on processing delays. That is, the time taken by any process to execute a step is always less than this bound. Remember that a step gathers the delivery of a message (possibly nil) sent by some other process, a local computation (possibly involving interaction among several layers of same process), and the sending of a message of some other process (possibly omitted).
2. Synchronous communication. There is known uppder bound on message transmission delays. That is, the time period between the instant at which a message is sent and the instant at which the message is delivered by the destination process is smaller than this bound.
也就是说，同步系统可以保证在有限时间内完成计算，在有限时间内完成网络传输。
异步系统（Asynchronous System）
显然，异步系统就是不符合上面两个条件的系统了。
部分同步系统（Partial Synchronous System）
事实上，在实际系统中，大多数情况下都属于同步系统，只有在某些极端情况下（如网络丢包、缓存被塞满等），系统会转变为异步系统。这种系统被称为部分同步系统。
部分同步系统有两种形式的定义：
1. 系统可以保证在有限时间内完成计算和网络传输，但是这个时间无法被预先知道
2. 系统只能在一段无法预知的时间内，保证计算和网络传输有一个时间上限
同步系统的容错率
这里只讨论签名消息，直观来说，需要通过少数服从多数来达成共识，那么显然容错率是50%。
当然，Andrew Miller在他的论文给出了证明过程：
1. 假设集合P中都是诚实节点，Q中都是恶意节点，输入为0，结果如左图所示
2. 假设集合P中都是恶意节点，Q中都是诚实节点，输入为1，结果如右图所示
通过一个”passive client”去观察（这个passive client只能接收消息，不能发送消息），无法区分这两种情况。因此，同步系统的容错率为50%。
如果要求所有节点转发消息时都带上自己的签名，将可以获得更强的容错性。例如Lamport设计了一种算法，理论上可以达到99%的容错率：
假设有m个恶意节点，诚实节点只需要确保收到m+1个不同节点签名，就可以保证所有诚实节点达成一致。
以图中情况为例：图中有4个恶意节点，2个诚实节点。当节点6收到4个签名的时候（实线部分），还无法确认该消息是否有效，因为有可能都是恶意节点的签名。但是，当它收到5个签名时（虚线部分），就可以确认节点2一定也已经收到过该信息，这样所有诚实节点就可以达成一致了。
部分同步系统的容错率
在部分同步系统中，网络传输可能出现长时间的延迟，因此节点可能无法收全所有信息。在这种情况下，节点会进入等待，需要在收到有限条消息的时候做出决策。PBFT就是一种异步系统中的拜占庭容错算法，最大容错率为33%，推导如下：
- 假设系统中有m个恶意节点
- 这些恶意节点可能选择不发送消息，这样诚实节点最多只能收到n-m条消息，并在此时做出决策
- 但是，由于网络延迟，诚实节点发送的消息有可能没收到，也就是说，这n-m条消息中有可能包含了m个恶意节点的消息
- 为了作出正确的决策，至少需要m+1个诚实节点的消息，才能推翻这m个恶意节点的消息
- 也就是说，需要n-m >= 2m+1，即n >= 3m+1，证毕
关于POW
POW是一种比较特殊的算法，它依靠算力竞赛而非网络交互完成共识。参见以太坊wiki上的描述：
Proof of work has been rigorously analyzed by Andrew Miller and others and fits into the picture as an algorithm reliant on a synchronous network model. We can model the network as being made up of a near-infinite number of nodes, with each node representing a very small unit of computing power and having a very small probability of being able to create a block in a given period. In this model, the protocol has 50% fault tolerance assuming zero network latency, ~46% (Ethereum) and ~49.5% (Bitcoin) fault tolerance under actually observed conditions, but goes down to 33% if network latency is equal to the block time, and reduces to zero as network latency approaches infinity.
也就是说，POW在网络无延时的情况下可以达到50%的容错率，当网络延时和出块时间相当时容错率下降到33%，而当网络延时趋于无穷大时容错率趋于0（会出现大量分叉，导致网络不可用）。
参考：
https://books.google.com/books?id=Y8lHVFeJ6EQC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
https://groups.csail.mit.edu/tds/papers/Lynch/jacm88.pdf
https://eprint.iacr.org/2016/454.pdf
https://github.com/ethereum/wiki/wiki/Proof-of-Stake-FAQs
https://groups.csail.mit.edu/tds/papers/Lynch/jacm88.pdf
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