线代基础

时间:2024-04-12 22:39:33

矩阵:
加减乘除(除法表现为矩阵的逆)
单位矩阵:
线代基础
线代基础

矩阵的逆:
线代基础
R2空间矩阵的逆:

线代基础
Rn空间矩阵的逆:
求法比较简单的为消元法,其他都比较复杂。
高斯消元法求矩阵的逆:
线代基础
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通过矩阵的逆求解方程组:
线代基础
通过矩阵的逆求解如何把两个向量线性组合为一个向量。
线代基础
矩阵的逆不存在的条件(奇异矩阵)(如下二纬矩阵可扩展为多维)
线代基础
ad=bc

二元线性方程表示为线
三元线性方程表示为面
如下:

线代基础
三元线性方程不共面时,两条(两面)相交与线,三条(三面)相交与点。
高斯消元法求解线性方程组:
线代基础
向量:
加法、减法、数乘、乘法(点积)。
向量(a,b)表示为起点为0点,到达(a,b)点的有向直线段。
即起点为(x,y)点,到达(x+a,y+b)点的有向直线段。

多向量相加,从0点开始逐一画这项向量的有向直线段,首尾相连,最后连接0点到终点的直线段即为结果向量。

直线的参数化向量表示:
任意纬空间中的两个向量,确定一条直线,表示如下:

线代基础
向量a或者b+t(向量b-向量a) 即可表示过a,b这两点的直线上的所有点。
及:如果a=(2,1) b=(0,3),则 x = -2t+2 y=2t+1. 在多维空间中,只能用这种参数方式表示一条直线。高维中(例如三维)x+y+z=k表示的是一个面,无法表示线。

线性无关:

多个向量线性无关的必要条件:
设向量a(x1,x2),b(x3,x4) 则c1a+c2b=0无非零解。即
c1x1+c2x3=0
c1x2+c2x4=0
解:c1=0,c2=0

子空间:
子空间三要素:包含零零向量,对加法封闭,对数乘封闭。
任何向量集张成的空间都是子空间。空间的一组基就是该向量集合(如果这些向量都是线性无关)。如果这组向量不是线性无关,则这组向量集合就不是该空间的一组基。

空间基:
生成一个空间的最小向量集合。无多余向量。

向量乘法 点积
点积:线代基础
点积结果得到一个数。

点积性质:
交换律
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分配律
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结合律
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向量点积小于等于这两个向量的模长的乘积。等号成立时,x,y共线。
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向量模长:
线代基础
每一个分量的平方和再开方。
或者:模长=向量自身点积的开方。即向量模长的平方=向量自身点积。
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三角不等式:
线代基础
即:线代基础
三角形两边之和 >=第三边

向量夹角:
向量组成的三角形:首尾相连,符合向量加减法
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根据余弦定理:
线代基础
可推导出
线代基础
向量点积=向量模长(相乘)*cos夹角
点积的意义:
点积结果为标量,可写成 向量a在向量b上的投影长度 乘以 向量b长度。
所以点积代表了 两个向量同方向上的部分的乘积有多大。
向量垂直:
如果夹角为90度,则 向量点积=0.即向量点积=0,则向量垂直。

平面的法向量
某个向量垂直与平面,则这个向量就是平面的法向量。

空间平面方程(ax+by+cz=d)
已知空间平面上的一个点x0=(x0,y0,z0),和一个垂直该平面的向量n(n1,n2,n3).求该平面方程。
设平面上任一点x=(x,y,z).
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则 n*(x-x0)=0;说明:因为x\x0都是平面上的点,所以x-x0 为该平面上的向量。
线代基础
线代基础
例:

线代基础
向量乘法 外积 X积
外积仅仅在R3中有意义。不能推广到全体空间。点积可以推广到全体空间

线代基础
**aXb 正交于 a,b线性组合的平面。**即:(aXb)*a=0 (aXb)*b=0
线代基础
方向适用右手法则:
线代基础
外积正弦定理
线代基础
点积余弦定理
线代基础
外积正弦定理 证明 略
外积的意义:
外积的结果为向量,该向量的模长表示a向量在b向量的非投影分量的长度 乘以 b向量的长度,代表不同方向上部分的乘积有多大。也代表这两个向量组成的平行四边形的面积。