FM的产生背景：
为了改进SVM在解决稀疏矩阵问题方面的缺点：当数据非常稀疏时，SVM不能从复杂的核空间学到可靠的参数。可用于线性回归、分类等。
解决问题实例：
从下图所示数据从特征向量x学习一个模型用于预测y值
FM模型方程：
FM模型的基本思路就是给特征向量x中各个特征xi学习一个向量vi，在交叉项中对应特征xi，xj进行交叉时，前面乘上对应的vi和vj向量的点乘结果作为权重。
FFM的产生背景：
上述介绍的FM，特征xi在和其它不同的特征进行交叉时，使用的是同一个向量vi，这是不合理的。因为对于不同的交叉项，xi的重要程度也不同，所以为了使学习效果更好，FFM提出给不同的特征设立一个“域”的概念。对于同属于一个域的特征xj和xk，xi在与其进行交叉时，就使用相同的向量vif（f代表xj和xk的域的序号）。
FFM模型方程：
该方程仅包含交叉项部分，因为线性部分与FM相同所以省略。
FFM模型与FM模型相比的改进之处就在于FFM模型引进了“域”的概念，对不同的域使用不同的向量，所以如果xi分别与xj和xk进行交叉，假设它们对应的域为1， 2， 3, 则对应的交叉项的权为<vi2, vj1>和<vi3, vk1>。虽然FFM要学习的V矩阵的行数更多，为nf(f为划分的域的数量)，但一般V矩阵的列数k相比FM的V矩阵要小很多。
AFM的产生背景：
与FFM的产生背景相似，AFM也是为了克服FM，特征xi在和其它不同的特征进行交叉时，使用的是同一个向量vi这一缺点。与FFM不同的是，AFM在考虑xi和其它不同的特征进行交叉时应该使用不同的权重采用了Attention机制，即在不同的交叉项前再乘上一个a系数。
AFM模型方程：
从模型方程可以看出，AFM引入Attention机制的做法是对不同的交叉项，计算出对应的aij’后再通过softmax函数得到对应交叉项的权重。
总结：
通过上面的介绍和比较可以看出FM、FFM和AFM的相同和不同。
相同点：
- 三个模型都具有交叉项而且都具备对稀疏矩阵进行处理的能力；
- 都是对潜在的权重进行了因式分解。
不同点：
- FM模型中，特征xi在和其它不同的特征进行交叉时，使用的是同一个向量vi；
- FFM引入了“域”的概念，对不同的域使用不同的向量，所以如果xi分别与xj和xk进行交叉，假设它们对应的域为1， 2， 3, 则对应的交叉项的权为<vi2, vj1>和<vi3, vk1>，泛化能力更强；
- AFM的出发点和FFM相同，但是AFM引入了Attention机制，在每个交叉项前多加了一项a作为权重。