检验码的检错和纠错原理
码距：任何编码都由一组码字（code word）组成，两个码字间变化的二进制位数称为码距（code distance）
例如：
若用1位长度的二进制编码。A=1，B=0。则A和B之间最小的码距为1
若用2位长度的二进制编码。A=11，B=00。则A和B之前最小的码距为2
若用3位长度的二进制编码。A=111，B=222。则A和B之间最小的码距为3
码距与检错和纠错之间的关系
若在一个码组内为了检测e个误码，最小的码距d应该满足 d>=e+1
若在一个码组内为了纠正t个误码，最小的码距d应该满足 d>=2t+1
若在一个码组内为了纠正t个错误，同时检测e（e>=t）个错误，要求最小码距d满足 d>t+e+1
循环冗余校验码CRC
循环冗余检验码在进行编码时，其编码的结果有数据位+校验位组成，其中数据位在前，校验位在后
ps：用到了模2除法
①：信息码 K
②：检验码 R
③：编码长度N=K+R
④：生成的多项是为G(X)，最高次幂是R，多项式一共有R+1项
⑤：多项式转化为二进制序列，一共R+1位二进制，用来做除数，我们把它叫多项式的二进制除数
⑥：在信息码（原始报文）的后面加上R个0,。我们把它叫做加0的原始报文。
⑦：用加0的原始报文 对多项式的二进制序列做模2除法，得到余数（余数的位数和R的位数是一样的，要是几个都是几个）
⑧：把余数加在原始报文的后面（把原始报文左移），得到总的编码 余数就是校验码
⑨：接收端对数据的校验： 除数不变，用模2除法，验证余数是否为0，若为0则说明数据帧没有出
海明码校验
① 计算校验码位数
N 整个传输信息的二进制位数
K有效信息的位数
R校验位的位数
它们之间的关系满足 N=K+R<=2^n - 1 （确定了校验位的位数）
| 有效信息位数 | 1 | 2~4 | 5~11 | 12~26 | 27~57 | 58~120 |
| 校验码位数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
②确定校验位的位置
校验码Pi 必须是在2的n次方位置，即只能放在H1，H2，H4，H8...（1、2、4、8、16）
③计算校验位 Pi
1101 -----即: D3 D2 D1 D0 = 1 1 0 1
整理可得： H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1
= D3 D2 D1 P3 D0 P2 P1
代入数字 = 1 1 0 P3 1 P2 P1
根据：H3 = H1+H2 （右下标之和等于左下标。）
H5 = H1+H4
H6 = H2 + H4
H7 = H1 + H2 + H4
可得：P1（H1） = H3 ⊕ H5 ⊕ H7 （⊕表示异或，即：与H1有关的信息码进行异或）
P2（H2） = H3 ⊕ H6 ⊕ H7
P3（H4） = H5 ⊕ H6 ⊕ H7
计算可得：P1 = 0，P2 = 1，P3 = 0
所以：最终海明码： H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1 = 1 1 0 0 1 1 0
④纠错和检错
设检测位G1，G2，G3：
则有：G1 = P1 ⊕ H3 ⊕ H5 ⊕ H7 ；
G2 = P2 ⊕ H3 ⊕ H6 ⊕ H7；
G3 = P3 ⊕ H5 ⊕ H6 ⊕ H7；
当偶校验时：G3 G2 G1 值皆为0则数据无误，若G3 G2 G1不全为0说明数据传输有误，且其十进制指出了错误发生的位置。
（例：G3 G2 G1 = 101，其十进制为 5 ，即：H5 发生了错误，H5的位置为D1，则说明D1传输错误，则将D1的位置取反，即可纠错。）
所以海明码定义：具有纠正一位错误的能力