之前简单介绍了拉格朗日乘子法的基本思路：如何理解拉格朗日乘子法？
本文会继续介绍拉格朗日乘子法的细节，以及对其进行适当的推广（也就是所谓的KKT条件）。
1 无约束下的极值
1.1 直观
根据梯度的意义（参看如何理解梯度）可知，在函数
的极值点梯度为0：
1.2 代数
要求（
的意思是求极小值）：
只需解如下方程：
2 单等式约束下的极值
关于这一节，更详细的请参看：如何理解拉格朗日乘子法？
2.1 直观
要求方程
与原点的最小距离：
问题被转化为了同心圆与 什么时候相切：
相切就是在极小值点有相同的切线：
只要能通过数学把相切这个条件表示出来，就可以得到解。
我们把同心圆可以看作凸函数
的等高线：
把方程 看作凸函数
的等高线中的一条：
这样
的等高线，同心圆，的法线就是
：
的等高线的其中一条，方程 ，的法线就是
两者相切就意味着，在切点，两者法线平行：
也就是：
2.2 代数
上面的问题形式化后，用代数表示为（
的意思是服从于，约束于的意思）：
只需解如下方程组：
3 多等式约束下的极值
比如下图：
要求 被
约束后的极值，可以证明在极值点 必然在
张成的空间中。
那么上面的问题形式化后就是：
只需解如下方程组：
更一般的，如果有
个约束等式：
只需解如下方程组：
4 不等式约束下的极值
比如，我们要求刚才同心圆的最小值：
那肯定就是原点啦，半径为0肯定就是最小值了。
从代数上看就是要求：
解：
4.1 情况一
我们给它添加一个不等式约束，也就是求：
可以看到，这个不等式约束实际上包含了原点：
所以这个约束等于没有，依然求解：
4.2 情况二
换一个不等式约束：
不等式约束看起来是这样的：
因为同心圆是凸函数的等高线，所以等高线的值是这么排列的：
所以，在不等式约束下，最小值是在边缘相切的地方取得：
和用等式
进行约束效果是一样的：
因此可以通过解方程组求出答案：
4.3 新增的条件
仔细研究，不等式实际上带来了新的条件。
同心圆是凸函数的等高线，等高线的值如下排列，所以在相切处，法线也就是 的方向如下（法线也就是梯度，指向增长最快的方向，也就是等高线的值变大的方向）：
而凸函数
的法线
也一样指向 增长的方向，这个方向正好和 相反：
因此：
其中，
就表明
方向相反。
因此刚才的方程组可以再增加一个条件：
5 KKT条件
因此，综合上面的所有情况，可以把求如下的极值：
通过解下面这个方程组来得到答案：
这个方程组也就是所谓的KKT条件。
进一步解释下方程组的各个项：
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解拉格朗日乘子法与KKT条件？