移动机器人运动规划 | 基于图搜索的Dijkstra 和 A*算法详解

时间：2024-04-10 14:42:17

Dijkstra 算法

Dijkstra 算法与BFS算法的区别就是 : 从容器中弹出接下来要访问的节点的规则不同

BFS 弹出: 层级最浅的原则，队列里最下方的元素

Dijkstra 弹出: 代价最小的节点g(n)

g(n) :表示的是从开始节点到当前n节点的代价累加
Dijkstra在扩展的时候，同时考虑从n节点扩展所有可扩展节点的代价g()，如果某个节点m的代价g(m)比g(n)要小，则更新当前代价为g(m)
Dijkstra的最优性保证：图运行的过程中，任何一个被扩展或者访问的节点，保证存储的代价g()值是从起点节点开始到当前节点的最小值

Dijkstra 算法 伪代码流程

维护一个优先级队列，存储所有被扩展的节点，且节点按g()值的大小自动按从小到大排列。

-优先级队列首先为空，以起始节点Xs进行初始化

-起始节点g(Xs)=0，并且初始化其它节点的代价为无穷大

-循环：
    1、如果队列是空的，返回false，跳出循环
    2、弹出优先级队列中代价最小的节点n
    3、标记节点n为被扩展节点
    4、如果节点n为目标节点，返回true,跳出循环
    5、找到n节点周围可以扩展的所以节点（没被扩展过）m
        6、进行判断 如果g(m)为无穷大（说明其它节点也没发现过m）,
            7、则计算 真正的g(m)=g(n)+Cnm，然后将m节点加入到优先级队列中
        8、进行判断 如果g(m)不为无穷大，有值了(说明其它节点发现过m，m已经在优先级队列中)
            9、再次进行判断 如果之前发现m时计算的g(m)比g(n)+Cnm大的话
                10、更新g(m)=g(n)+Cnm。
    11、重复循环至步骤1

-结束循环

Dijkstra 算法步骤示例

以这个图将Dijkstra 算法运行的步骤进行一个示例：

1、首先初始化队列，将起始节点放入优先级队列中
 


2、弹出起始节点
 


3、扩展弹出节点周围的节点
起始节点S可以扩展到子节点d\e\p，并且计算各节点的g值
 


4、将扩展的节点加入到优先级队列中，并且进行排序
g(p)最小，放到队列最前面，也就是图中的最下面，然后是d,最后是e。
 


5、弹出最小的g值节点
也就是p节点
 


然后循环至步骤3，直至结束

Dijkstra算法的优劣分析

  • 优点：完备的（如果问题有解，一定能找到解）；最优的（找到的解一定是最优的）
  • 缺点：没有目标终点方向的，只是比广度搜索多了一个代价值判断，如果每个边的代价都是1的话，那么就变成了广度搜索。

针对该缺点，与之对应的就是启发式搜索，例如贪心算法，根据到目标的进行一个启发式搜索。

如果Dijkstra的最优性与启发式搜索结合，使搜索具有方向性时，也就是 A*算法了。

A*算法

A_算法与Dijkstra算法的框架是完全一样的，**A_算法就是有启发性的Dijkstra算法**

代价函数：g(n) 表示的是从开始节点到当前n节点的代价累加

启发函数：h(n) 表示当前节点到目标节点估计所花的代价

优先级队列：维护的是 代价函数+启发函数的 节点从小到大排序 f(n)=g(n)+h(n)

每次弹出的节点就是最小的f(n)值的节点。

A*算法伪代码

维护一个优先级队列，存储所有被扩展的节点，且节点按f()值的大小自动按从小到大排列。

-所以节点的启发值h(n)是为被定义的，是不知道的，到具体的节点再计算

-优先级队列首先为空，以起始节点Xs进行初始化

-起始节点g(Xs)=0，并且初始化其它节点的代价为无穷大

-循环：
    1、如果队列是空的，返回false，跳出循环
    2、**弹出优先级队列中f(n)最小的节点n** [唯一与djikstra不同的地方]
    3、标记节点n为被扩展节点
    4、如果节点n为目标节点，返回true,跳出循环
    5、找到n节点周围可以扩展的所以节点（没被扩展过）m
        6、进行判断 如果g(m)为无穷大（说明其它节点也没发现过m）,
            7、则计算 真正的g(m)=g(n)+Cnm，然后将m节点加入到优先级队列中
        8、进行判断 如果g(m)不为无穷大，有值了(说明其它节点发现过m，m已经在优先级队列中)
            9、再次进行判断 如果之前发现m时计算的g(m)比g(n)+Cnm大的话
                10、更新g(m)=g(n)+Cnm。
    11、重复循环至步骤1

-结束循环

A* 算法步骤示例

下面是一个A_算法的演示图，每个边有个预先设置的代价g，每个节点有提前估计好的启发f
 


以这个图将A_ 算法运行的步骤进行一个示例：

1、首先初始化队列，将起始节点放入优先级队列中
 


2、弹出起始节点
可扩展的节点仅有a节点，计算f(a)=g(a)+h(a)=1+5=6
 


3、将扩展的节点放入优先级队列
 


4、弹出f最小节点，扩展周围节点
弹出a节点，a节点周围可以扩展的节点为 b\d\e 。并且根据g与h值计算f值
 


5、根据f值大小，压入队列中
d节点的f(d)=6最小，它在最下方。
 

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