算法：完全背包问题dp

文章目录

- - 一、完全背包问题的特征
  - 二、定义状态
  - 三、状态转移
  - 四、降维优化
  - 五、参考例题
  - - 5.1、Acwing：3.完全背包问题
    - 5.2、Acwing：900. 整数划分

一、完全背包问题的特征

完全背包问题是动态规划中的一种经典问题，它的主要特征可以总结如下：

无限使用物品：与0-1背包问题不同，其每种物品只能使用一次，而完全背包问题允许每种物品被无限次选取。
背包容量限制：存在一个容量限制W，所有选取的物品总重量不能超过这个限制。
目标函数：目标是在不超过背包容量的前提下，最大化背包内物品的总价值。
复杂度：完全背包问题的时间复杂度和空间复杂度取决于具体的实现方法，通常时间复杂度为O(NW)，其中N是物品数量，W是背包容量。通过优化，空间复杂度可以降低到O(W)。

二、定义状态

定义dp[i][j]表示，考虑前i个物品且背包容量为j时的最大价值。

三、状态转移

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+price[i])
即背包容量为j时，考虑前i个物品的最大价值从两个方面转移而来：
- dp[i-1][j]：不加入物品i时，容量为j的背包利益最大值。
- dp[i][j-weight[i]]+price[i]：加入物品i时，容量为j的背包利益最大值。

我们需要特别注意这里和0-1背包的区别，
0-1背包：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+price[i])，因为0-1背包每个物品要么放要么不放，而完全背包问题每个物品可以放置多次，因此转移时是从考虑物品i的情况下转移的。

for(int j=weight[0];j<=V;++j)
	dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+price[0];
for(int i=1;i<N;++i)
for(int j=weight[i];j<=V;++j)
	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+price[i]);

四、降维优化

考虑到状态转移的时候，我们是一个物品一个物品考虑的，相当于二维数组中一行一行考虑的，当前状态只需要用到之前的状态，因此我们可以进行降维优化。将空间降低到一维：

    dp[0]=0;
    for(int i=0;i<N;++i){//考虑第i个物品
        for(int j=weight[i];j<=V;++j){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+price[i]);
        }
    }

五、参考例题

5.1、Acwing：3.完全背包问题

模板题
3.完全背包问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace  std;
int main(void){
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int N,V;
    cin>>N>>V;
    
    vector<int> volume(N);
    vector<int> price(N);
    for(int i=0;i<N;++i){
        cin>>volume[i]>>price[i];
    }
    
    vector<int> dp(V+1);
    dp[0]=0;
    
    for(int i=0;i<N;++i){//考虑第i个物品
        for(int j=volume[i];j<=V;++j){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]]+price[i]);
        }
    }
    
    cout<<dp[V];
    return 0;
}

5.2、Acwing：900. 整数划分

900.整数划分
整数划分问题可以转换成，完全背包问题。即：
对于体积为n的背包，有1~n ，n个物品，每个物品的体积为其编号大小，求体积为n的背包能被装满的不同物品放置种类数。
整数划分问题解析

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