平面极坐标系下质点的运动方程

一、平面极坐标系定义

1. 定义

在参考系上取一点 $O$O 称为极点，由 $O$O 点引一有刻度的射线，称之为极轴，即构成极坐标系。

2. 极坐标系

质点的位置 $P$P 由极径 $\rho$ρ 和幅角 $\theta$θ 给出。如下图所示。

$\rho$ρ ：极径，极点到质点的距离
$\theta$θ：幅角或极角，极径与极轴的夹角，规定角度取逆时针方向为正

3. 正交单位矢量

• 径向单位矢量 $\bm{i}$i ：方向从极点指向质点。则矢径 $\bm{r} = \rho \bm{i}$r=ρi。
• 横向单位矢量 $\bm{j}$j ：方向与径向单位矢量垂直，且指向 $\theta$θ 增加的方向。

4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

设初始时刻质点位置为$P_{1}$P1​，经过时间$dt$dt，质点位置为$P_{2}$P2​，幅角变化量为$d\theta$dθ。如下图所示。

4.1 径向单位矢量$\bm{i}$i

经过时间$dt$dt，径向单位矢量由$\bm{i}_{1}$i1​变化到$\bm{i}_{2}$i2​，转过的角度为$d\theta$dθ。
$d\bm{i}=\bm{i}_{2}-\bm{i}_{1}$di=i2​−i1​

由于$\bm{i}$i为单位矢量，且$dt$dt为趋于$0$0的微元。所以$d\bm{i}$di的大小即为以$|\bm{i}|$∣i∣为半径，角度为$d\theta$dθ所对应的弧长（单位矢量$\bm{i}$i从$\bm{i}_{1}$i1​旋转到$\bm{i}_{2}$i2​时，箭头末端所经过的路程），其大小为：
$|d\bm{i}|=|\bm{i}|\cdot d\theta=d\theta$∣di∣=∣i∣⋅dθ=dθ

$d\bm{i}$di的方向为从$\bm{i}_{1}$i1​的末端指向$\bm{i}_{2}$i2​的末端，当$dt$dt趋于$0$0时，$d\bm{i}$di的方向垂直于$\bm{i}$i并且指向$\theta$θ的增加方向，所以$d\bm{i}$di与$\bm{j}$j同向。即：
$d\bm{i}=\bm{j}d\theta$di=jdθ

对时间的导数为
$\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}$dtdi​=jdtdθ​

4.2 横向单位矢量$\bm{j}$j

同理，经过时间$dt$dt，横向单位矢量由$\bm{j}_{1}$j1​变化到$\bm{j}_{2}$j2​，转过的角度为$d\theta$dθ。
$d\bm{j}=\bm{j}_{2}-\bm{j}_{1}$dj=j2​−j1​

其大小为
$|d\bm{j}|=|\bm{j}|\cdot d\theta=d\theta$∣dj∣=∣j∣⋅dθ=dθ

其方向与径向单位矢量$\bm{i}$i反向，所以横向单位矢量对时间的导数为
$\frac{d\bm{j}}{dt}=-\bm{i}\frac{d\theta}{dt}$dtdj​=−idtdθ​

二、极坐标系下运动方程

• 运动学方程：$r=r(t)$r=r(t),$\hspace{0.3cm}$ $\theta=\theta (t)$θ=θ(t)
• 质点位置矢量：$\bm{r}=\bm{r}(t)$r=r(t)
• 质点轨迹方程：$r=r(\theta)$r=r(θ)

三、极坐标系中的速度

在极坐标系中
$\bm{r}=\rho \bm{i}$r=ρi

速度
$\bm{v}=\frac{d\bm{r}}{dt}=\frac{d(\rho \bm{i})}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\bm{i}}{dt}$v=dtdr​=dtd(ρi)​=dtdρ​i+ρdtdi​

又
$\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}$dtdi​=jdtdθ​

所以
$\bm{v}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}=v_{r}\bm{i}+v_{\theta}\bm{j}$v=dtdρ​i+ρdtdθ​j=vr​i+vθ​j

• 径向速度$v_{r}=\frac{d\rho}{dt}$vr​=dtdρ​，由位矢的量值变化所引起的；
• 横向速度$v_{\theta}=\rho \frac{d\theta}{dt}$vθ​=ρdtdθ​，由位矢方向的变化所引起的，其中$\omega=\frac{d\theta}{dt}$ω=dtdθ​为角速度。

总的速度大小
$|\bm{v}|=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}}=\sqrt{(\frac{d\rho}{dt})^{2}+(\rho \frac{d\theta}{dt})^{2}}$∣v∣=vr2​+vθ2​​=(dtdρ​)2+(ρdtdθ​)2​

四、极坐标系中的加速度

由加速度定义
$\bm{a}=\frac{d\bm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})$a=dtdv​=dtd​(dtdρ​i+ρdtdθ​j)

其中
$\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i})=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\bm{i}}{dt}=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}$dtd​(dtdρ​i)=dt2d2ρ​i+dtdρ​dtdi​=dt2d2ρ​i+dtdρ​dtdθ​j

$\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}+\rho \frac{d\theta}{dt}\frac{d\bm{j}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2 \bm{i}$dtd​(ρdtdθ​j)=dtdρ​dtdθ​j+ρdt2d2θ​j+ρdtdθ​dtdj​=dtdρ​dtdθ​j+ρdt2d2θ​j−ρ(dtdθ​)2i

由此可得
$\bm{a}=[\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2]\bm{i}+[\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}]\bm{j}=a_{r}\bm{i}+a_{\theta}\bm{j}$a=[dt2d2ρ​−ρ(dtdθ​)2]i+[ρdt2d2θ​+2dtdρ​dtdθ​]j=ar​i+aθ​j