从本质出发理解掌握三大坐标系下的三大方程（一）——梯度公式

对于很多数学和工程问题，我们常常需要使用到梯度、散度和旋度公式，而有的时候，虽然在使用这些公式，却对他们其中的物理意义不甚清楚，这样的后果是只能对公式死记硬背，但结果还是常常忘记。这篇文章便从这三大公式的本质入手，推导它们在三大经典坐标系下的形式，授以“捕鱼”之道！

文章目录

• 梯度公式
• 笛卡尔坐标系下的梯度公式
• 柱面坐标系下的梯度公式
• 球面坐标系下的梯度公式

 

梯度公式

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       开始之前，我们先来回忆一下梯度公式的数学意义，它描述了函数在某点函数值增加最快的方向，它的模就等于函数在该点方向导数的最大值。用直观的解释就是，假设你现在位于一座山上，则这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向，梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

那么为什么梯度的方向就是函数增加最大的方向呢？证明过程十分简单：
       如果$f(x,y,z)$f(x,y,z)在点$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$P0​(x0​,y0​,z0​)可微，则函数在该点任意方向的$e_{l}$el​的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\beta + f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\gamma$∂l∂f​∣(x0​,y0​,z0​)​=fx​(x0​,y0​,z0​)cosα+fy​(x0​,y0​,z0​)cosβ+fz​(x0​,y0​,z0​)cosγ，其中$cos\alpha、cos\beta、cos\gamma$cosα、cosβ、cosγ为$l$l的方向余弦。
       我们把上式看成两个向量点积的形式，则变为$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )\cdot(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma))$∂l∂f​∣(x0​,y0​,z0​)​=(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​))⋅(cosα,cosβ,cosγ))
又因为$|(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)|=1$∣(cosα,cosβ,cosγ)∣=1，所以，上面那个方向导数的最大值就是$|(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )|$∣(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​))∣。要取得该最大值，就是将$l$l的方向取成向量$(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )$(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​))的方向，而$(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )$(fx​(x0​,y0​,z0​),fy​(x0​,y0​,z0​),fz​(x0​,y0​,z0​))恰恰是该点处梯度的方向，至此，我们便证明了梯度的方向就是函数值增加最大的方向。

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笛卡尔坐标系下的梯度公式

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       在上面的推导过程中，我们已经得到了在笛卡尔坐标系下的梯度公式：$\bigtriangledown f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$▽f(x,y,z)=∂x∂f​i+∂y∂f​j​+∂z∂f​k

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柱面坐标系下的梯度公式

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       柱面坐标系也是正交坐标系，可以看成是笛卡尔坐标系在空间重旋转了一个角度得到的，根据笛卡尔坐标系下梯度公式的推导，我们可以很自然地想到柱面坐标系下的梯度就是$f(x,y,z)$f(x,y,z)在$\vec{e_{r}}、\vec{e_{\theta}}、\vec{e_{z}}$er​​、eθ​​、ez​​方向的偏导数组成的向量，也就是$(f_{\vec{e_{r}}},f_{\vec{e_{\theta}}},f_{\vec{e_{z}}})$(fer​​​,feθ​​​,fez​​​)，接下来，我们只需推导这三个偏导数即可。
$f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r}$fer​​​=△r−>0lim​r+△r−rf+△f−f​=∂r∂f​
$f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta}$feθ​​​=△θ−>0lim​r(θ+△θ)−rθf+△f−f​=r∂θ∂f​
$f_{\vec{e_{z}}} = \lim_{\bigtriangleup z->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{z+\bigtriangleup z - z}=\frac{\partial f}{\partial z}$fez​​​=△z−>0lim​z+△z−zf+△f−f​=∂z∂f​
于是，我们便得到了柱面坐标下的梯度公式：$\bigtriangledown f(r,\theta,z)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}$▽f(r,θ,z)=∂r∂f​er​​+r∂θ∂f​rθ​​+∂z∂f​ez​​
说明：梯度终究是一个由位移的偏导数组成的量，但是对$\theta$θ的偏导数并不是一个对位移的偏导数，所以其最后转化成了弧长！

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球面坐标系下的梯度公式

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       如果你能搞懂柱面坐标下的梯度公式是怎么来的话，球面坐标系下的梯度公式也不在话下了。
$f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r}$fer​​​=△r−>0lim​r+△r−rf+△f−f​=∂r∂f​
$f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta}$feθ​​​=△θ−>0lim​r(θ+△θ)−rθf+△f−f​=r∂θ∂f​
$f_{\vec{e_{\phi}}} = \lim_{\bigtriangleup \phi->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{rsin\theta(\phi+\bigtriangleup \phi) - rsin\theta\phi}=\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi}$feϕ​​​=△ϕ−>0lim​rsinθ(ϕ+△ϕ)−rsinθϕf+△f−f​=rsinθ∂ϕ∂f​
这样，我们也就得到了球面坐标系下的梯度公式：
$\bigtriangledown f(r,\theta,\phi)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi}\vec{e_\phi}$▽f(r,θ,ϕ)=∂r∂f​er​​+r∂θ∂f​rθ​​+rsinθ∂ϕ∂f​eϕ​​

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