数学概率之z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布

Z=X+Y 的分布

设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为：

故Z=X+Y的概率密度为：

由X，Y的对等性，$f_{Z}(z)$fZ​(z) 又可写成

卷积公式：

如果X和Y相互独立时，Z=X+Y的密度函数公式称为卷积公式即：

$f_{Z}(z)＝\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx$fZ​(z)＝∫−∞+∞​fX​(z−y)fY​(y)dy=∫−∞+∞​fX​(x)fY​(z−x)dx

例题

Z=X-Y 的分布

假如x,y都是U(0,1)均匀分布，求z=x-y的分布
概率密度函数不再是均匀分布，会是三角形或者梯形

$f(z)=z, if -1<z<0;f(z)=1-z,if0<z<1$f(z)=z,if−1<z<0;f(z)=1−z,if0<z<1
两个均匀分布相加减，概率密度曲线是梯形/三角形；

Z=Y/X 的分布

比如两个相互独立的标准正态分布随机变量的商的分布，实际是位置参数为0、尺度参数为1的柯西分布