场波知识整理——1.2赫兹天线

首先摆上我们的Maxwell方程组（遇事不决，朗诵圣经 ）：
$\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\overline{E}=-\frac{\partial\overline{B}}{\partial{t}} \\ &\nabla\times\overline{H}=\overline{J}+\frac{\partial\overline{D}}{\partial{t}}\\ &\nabla\cdot\overline{D}=\rho\\ &\nabla\cdot\overline{B}=0 \end{aligned} \right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​∇×E=−∂t∂B​∇×H=J+∂t∂D​∇⋅D=ρ∇⋅B=0​
赫兹天线的结构如下图所示：
可以看成一个无源的LC振荡电路，因此令带电量为$q\cos{\omega{t}}$qcosωt.
电偶极矩为$\overline{P}=\hat{z}ql\cos{\omega{t}}\delta(r)$P=z^qlcosωtδ(r),加入$\delta(r)$δ(r)的原因是$\overline{P}$P只在原点存在.则:
$\overline{J}=\frac{d\overline{P}}{dt}=\hat{z}\frac{d(ql\cos\omega{t})\delta{(r)}}{dt}$J=dtdP​=z^dtd(qlcosωt)δ(r)​
引入矢量势$\overline{A}$A,标量势$\phi$ϕ.由Maxwell方程，有：
$\nabla\cdot\overline{B}=0$∇⋅B=0
由于旋度的散度为0，令$\overline{B}=\nabla\times\overline{A}$B=∇×A,进一步有：
$\nabla\times\overline{E}=-\frac{\partial}{\partial{t}}(\nabla\times\overline{A})$∇×E=−∂t∂​(∇×A)
由于梯度的旋度为0，而对t的偏导和求旋度无关，所以定义一个标量势$\phi$ϕ，有：
$\overline{E}=-\frac{\partial}{\partial{t}}\overline{A}-\nabla\phi$E=−∂t∂​A−∇ϕ
继续通过Maxwell进行推导：
$\begin{aligned} &\nabla\times\overline{H}=\frac{\partial\overline{D}}{\partial{t}}+\overline{J}\\ &\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\nabla\times\overline{A}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial{t}}(-\frac{\partial}{\partial{t}}\overline{A}-\nabla\phi)+\overline{J}\\ &\nabla(\nabla\cdot\overline{A})-\nabla^2\overline{A}=\mu_0\epsilon_0(-\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\overline{A}-\frac{\partial}{\partial{t}}\nabla\phi)+\mu_0\overline{J}\\ \end{aligned}$​∇×H=∂t∂D​+Jμ0​1​∇×∇×A=ϵ0​∂t∂​(−∂t∂​A−∇ϕ)+J∇(∇⋅A)−∇2A=μ0​ϵ0​(−∂t2∂2​A−∂t∂​∇ϕ)+μ0​J​
令$\nabla\cdot\overline{A}=-\mu_o\epsilon_0\frac{\partial}{\partial{t}}\phi$∇⋅A=−μo​ϵ0​∂t∂​ϕ,则有：
$\nabla^2\overline{A}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\overline{A}=-\mu_0\overline{J}$∇2A−μ0​ϵ0​∂t2∂2​A=−μ0​J
继续引入一个标量势$\Pi$Π(Hertzian Potential)，使得：
$\overline{A}=\hat{z}\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\Pi$A=z^μ0​∂t∂​Π
则有：
$\begin{aligned} \hat{z}(\nabla^2\mu_0\frac{\partial}{\partial{t}}\Pi-{\mu_0}^2\epsilon_0\frac{\partial^3}{\partial{t^3}}\Pi)&=\mu_0\overline{J}\\ &=\hat{z}(-\mu_0)\frac{\partial}{\partial{t}}(ql\cos{\omega t}\delta(r))\\ \nabla^2\Pi-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\Pi&=-ql\cos{\omega t}\delta(r) \end{aligned}$z^(∇2μ0​∂t∂​Π−μ0​2ϵ0​∂t3∂3​Π)∇2Π−μ0​ϵ0​∂t2∂2​Π​=μ0​J=z^(−μ0​)∂t∂​(qlcosωtδ(r))=−qlcosωtδ(r)​
在球坐标系中，$\Pi$Π与$\theta,\phi$θ,ϕ无关，所以有：
$\nabla^2\Pi=\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial{r^2}}(r\Pi)$∇2Π=r1​∂r2∂2​(rΠ)
与前面得到的结果联立，可得：
$\frac{1}{r}[\frac{\partial^2}{\partial{r^2}}(r\Pi)-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\Pi]=0\\ \Pi=\frac{c}{r}\cos{(kz-\omega t)}$r1​[∂r2∂2​(rΠ)−μ0​ϵ0​∂t2∂2​Π]=0Π=rc​cos(kz−ωt)
为求解待定常数$c$c，当$r\rightarrow0$r→0时，作积分，有：
$\begin{aligned} \iiint_{\Delta{V}\rightarrow{0}}dV(\nabla^2\Pi-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}\Pi)&=-ql\cos{\omega t}\\ \iiint_{\Delta{V}\rightarrow{0}}dV(\nabla\cdot(\nabla\Pi))&=\oiint_{\Delta{S}\rightarrow{0}}d\overline{S}\cdot\nabla\Pi\\ &=\lim_{r\rightarrow0}\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}r^2\sin{\theta}d\phi\cdot\frac{\partial\Pi}{\partial{r}}\\ &=\lim_{r\rightarrow0}4\pi r^2(-\frac{c}{r}\cos(kr-\omega t)-\frac{ck}{r}\sin(kr-\omega t))\\ &=-4\pi c \cos(\omega t) \end{aligned}$∭ΔV→0​dV(∇2Π−μ0​ϵ0​∂t2∂2​Π)∭ΔV→0​dV(∇⋅(∇Π))​=−qlcosωt=∬​ΔS→0​dS⋅∇Π=r→0lim​∫0π​dθ∫02π​r2sinθdϕ⋅∂r∂Π​=r→0lim​4πr2(−rc​cos(kr−ωt)−rck​sin(kr−ωt))=−4πccos(ωt)​
所以有$c=\frac{ql}{4\pi}$c=4πql​,即：
$\Pi=\frac{ql}{4\pi r}\cos(kz-\omega t)$Π=4πrql​cos(kz−ωt)
根据直角坐标系和球坐标系之间的换算关系：
$\begin{aligned} \hat{z}&=\hat{r}(\hat{z}\cdot\hat{r})+\hat{\theta}(\hat{z}\cdot\hat{\theta})+\hat{\phi}(\hat{z}\cdot\hat{\phi})\\ &=\hat{r}\cos\theta-\hat\theta\sin\theta\\ \overline{A}&=\hat{z}\mu_0\frac{ql\omega}{4\pi r}\sin(kr-\omega t)\\ &=(\hat{r}\cos\theta-\hat\theta\sin\theta)\mu_0\frac{ql\omega}{4\pi r}\sin(kr-\omega t)\\ &=\hat{r}A_r+\hat\theta A_{\theta}\\ A_r&=-\sin\theta\cdot\mu_0\frac{\omega ql}{4\pi r}\sin(kr-\omega t)\\ A_{\theta}&=-\cos\theta\cdot\mu_0\frac{\omega ql}{4\pi r}\sin(kr-\omega t)\\ \overline{H}&=\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\overline{A}\\ &=\frac{1}{\mu_0r^2\sin{\theta}}\left |\begin{array}{cccc} \hat{r} &r\hat\theta & r\sin\theta\hat\phi \\ \frac{\partial}{\partial{r}} &\frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial\phi} \\ A_r & rA_{\theta} & 0 \\ \end{array}\right|\\ &=\hat\phi\frac{\omega qlk}{4\pi r}\sin\theta[-\cos(kr-\omega t)+\frac{1}{kr}\sin(kr-\omega t)]\\ \overline{E}&=-\frac{\partial\overline{A}}{\partial{t}}-\nabla\phi\\ &=\frac{k^2ql}{4\pi\epsilon_0r}(\hat{r}2\cos\theta(\frac{1}{kr}\sin(kr-\omega t)+\frac{1}{k^2r^2}\cos(kr-\omega t))+\hat{\theta}\sin\theta(\frac{1}{kr}\sin(kr-\omega t)+(\frac{1}{k^2r^2}-1)\cos(kr-\omega t))) \end{aligned}\\$z^AAr​Aθ​HE​=r^(z^⋅r^)+θ^(z^⋅θ^)+ϕ^​(z^⋅ϕ^​)=r^cosθ−θ^sinθ=z^μ0​4πrqlω​sin(kr−ωt)=(r^cosθ−θ^sinθ)μ0​4πrqlω​sin(kr−ωt)=r^Ar​+θ^Aθ​=−sinθ⋅μ0​4πrωql​sin(kr−ωt)=−cosθ⋅μ0​4πrωql​sin(kr−ωt)=μ0​1​∇×A=μ0​r2sinθ1​∣∣∣∣∣∣​r^∂r∂​Ar​​rθ^∂θ∂​rAθ​​rsinθϕ^​∂ϕ∂​0​∣∣∣∣∣∣​=ϕ^​4πrωqlk​sinθ[−cos(kr−ωt)+kr1​sin(kr−ωt)]=−∂t∂A​−∇ϕ=4πϵ0​rk2ql​(r^2cosθ(kr1​sin(kr−ωt)+k2r21​cos(kr−ωt))+θ^sinθ(kr1​sin(kr−ωt)+(k2r21​−1)cos(kr−ωt)))​
对于远区场，$kr>>1$kr>>1，有:
$\begin{aligned} &\overline{H}=-\hat\phi\frac{\omega qlk}{4\pi r}\sin\theta\cos(kr-\omega t)\\ &\overline{E}=-\hat\theta\frac{k^2ql}{4\pi\epsilon_0 r}\sin\theta\cos(kr-\omega t)\\ &\overline{S}=\overline{E}\times\overline{H}=\hat{r}\frac{k^3\omega q^2l^2}{{(4\pi r)}^2\epsilon_0}\sin^2\theta\cos^2(kr-\omega t) \end{aligned}$​H=−ϕ^​4πrωqlk​sinθcos(kr−ωt)E=−θ^4πϵ0​rk2ql​sinθcos(kr−ωt)S=E×H=r^(4πr)2ϵ0​k3ωq2l2​sin2θcos2(kr−ωt)​
从而得到天线的辐射方向图：

这也可以解释天空为什么是蓝色的。因为蓝光$k$k较大，能量较大（至于为什么不是紫色，可能和我们的视觉细胞对各种光的敏感度有关）。
对于恒定场，有$\omega=0$ω=0,即$k=0$k=0,有：
$\begin{aligned} \overline{H}&=0\\ \overline{E}&=\frac{ql}{4\pi \epsilon r^3}(\hat{r}2\cos\theta+\hat\theta\sin\theta) \end{aligned}$HE​=0=4πϵr3ql​(r^2cosθ+θ^sinθ)​
对于近区场，$kr<<1$kr<<1,有:
$\begin{aligned} \overline{H}&=\hat\phi\frac{\omega ql}{4\pi r^2}\sin\theta\sin(-\omega t)\\ &=\hat\phi\frac{l}{4\pi r^2}\sin\theta\frac{d}{dt}(q\cos\omega t)\\ &=\hat\theta\frac{Il}{4\pi r^2}\sin\theta \end{aligned}$H​=ϕ^​4πr2ωql​sinθsin(−ωt)=ϕ^​4πr2l​sinθdtd​(qcosωt)=θ^4πr2Il​sinθ​
这就是毕奥-萨法尔定律(Bior-Savart law).