《多视图几何》中被省略的推导过程(1)

Multiple View Geometry in Computer Vision省略的推导过程(1)

本文是Jesse Chen的原创文章。

Multiple View Geometry in Computer Vision一书中有几处推导被作者省略了，有几处的结论还很有趣。本文给出了其中两处被省略的推导过程。

• Multiple View Geometry in Computer Vision省略的推导过程(1)
  • 顶点为V$V$并与二次曲面Q$Q$相切的锥面是一个退化的二次曲面
    • Result 8.10结论表述
  • 图9.10a的证明

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顶点为V$V$并与二次曲面Q$Q$相切的锥面是一个退化的二次曲面

Result 8.10结论表述

Multiple View Geometry in Computer Vision 2nd Edition的Page 202的Result 8.10是关于二次曲面的切锥面，结论非常简洁，我查了国外关于Multiple View Geometry in Computer Vision的课程，都只是在PPT中列出了这个结论，并没有给出Result 8.10的推导过程。

Result 8.10 The cone with vertex V$V$ and tangent to the quadric Q$Q$ is the degenerate quadric

Qco=(VTQV)Q−(QV)(QV)T(1)$$\begin{array}{}\text{(1)}& Q_{co}=\left(V^{T}QV\right)Q-\left(QV\right){\left(QV\right)}^T\end{array}$$

Note that QcoV=0$Q_{co}V=0$, so that V$V$ is the vertex of the cone as required. The proof is omitted.

顶点为V$V$并与二次曲面Q$Q$相切的锥面是一个退化的二次曲面Qco$Q_{co}$。注意QcoV=0$Q_{co}V=0$。因而V$V$正是所要求的锥面的顶点。

上图中的点c$c$换成V$V$就是Result 8.10的示意图。

证明： 3维空间中过点X0$X_0$且方向为X˜=(x˜,y˜,z˜,0)T$\tilde{X}={\left(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z},0\right)}^T$的点可以记为X(t)=X0+tX˜$X\left(t\right)=X_0+t\tilde{X}$。（此处先暂且用X0$X_0$代替V$V$，后面会在恰当的时候把V$V$换回来）

二次曲面Q$Q$的方程为：

XTQX=0(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& X^{T}QX=0\end{array}$$

将X(t)=X0+tX˜$X\left(t\right)=X_0+t\tilde{X}$带入方程(2)中，可以得到：

(X0+tX˜)TQ(X0+tX˜)=0(3)$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\left(X_0+t\tilde{X}\right)}^{T}Q\left(X_0+t\tilde{X}\right)=0\end{array}$$

展开方程(3)的左边得到：

t2X˜TQX˜+t(X˜TQX0+XT0QX˜)+XT0QX0=0(4)$$\begin{array}{}\text{(4)}& t^2{\tilde{X}}^{T}Q\tilde{X}+t\left({\tilde{X}}^{T}Q{X}_0+X_0^{T}Q\tilde{X}\right)+X_0^{T}Q{X}_0=0\end{array}$$

3D空间的直线和二次曲面相切等价于方程(4)的判别式Δ=b2−4ac=0$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=0$，可以进一步得到,

(X˜TQX0+XT0QX˜)2−4(X˜TQX˜)(XT0QX0)=0(5)$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\left({\tilde{X}}^{T}Q{X}_0+X_0^{T}Q\tilde{X}\right)}^2-4\left({\tilde{X}}^{T}Q\tilde{X}\right)\left(X_0^{T}Q{X}_0\right)=0\end{array}$$

方程(5)就是锥面的方程 。展开方程(5)的左边，并将X˜=X−X0t$\tilde{X}=\frac{X-X_0}{t}$带入方程(5)的左边得到：

1t2(X−X0)TQX0(X−X0)TQX0+1t2XT0Q(X−X0)XT0Q(X−X0)+2t2(X−X0)TQX0XT0Q(X−X0)−4t2(X−X0)TQ(X−X0)XT0QX0=0(6)$$\begin{array}{}\text{(6)}& \frac{1}{t^2}{\left(X-X_0\right)}^{T}Q{X}_0{\left(X-X_0\right)}^{T}Q{X}_0+\frac{1}{t^2}{X}_0^{T}Q\left(X-X_0\right)X_0^{T}Q\left(X-X_0\right)+\frac{2}{t^2}{\left(X-X_0\right)}^{T}Q{X}_0{X}_0^{T}Q\left(X-X_0\right)-\frac{4}{t^2}{\left(X-X_0\right)}^{T}Q\left(X-X_0\right)X_0^{T}Q{X}_0=0\end{array}$$

消去方程(6)中的1t2$\frac{1}{t^2}$，并将X0=V$X_0=V$带入方程(5)，经过展开、化简得到：

XTQVXTQV+VTQXVTQX+2XTQVVTQX−4XTQXVTQV=0(7)$$\begin{array}{}\text{(7)}& X^{T}QV{X}^{T}QV+V^{T}QX{V}^{T}QX+2X^{T}QV{V}^{T}QX-4X^{T}QX{V}^{T}QV=0\end{array}$$

因为Q=QT$Q=Q^T$，以及R$\mathbb{R}$上乘法的可交换性，可以得到：

XT(VTQV)QX−XT(QV)(QV)TX=0$$X^T\left(V^{T}QV\right)QX-X^T\left(QV\right){\left(QV\right)}^{T}X=0$$

所以，顶点为V$V$并与二次曲面Q$Q$相切的锥面是一个退化的二次曲面Qco=(VTQV)Q−(QV)(QV)T$Q_{co}=\left(V^{T}QV\right)Q-\left(QV\right){\left(QV\right)}^T$

注意：对于矩阵A∈Rm×n、B∈Rn×m$A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}、B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$，一般情况下AB$AB$是不可交换的，但对于c1∈R$c_1\in \mathbb{R}$、c2∈R$c_2\in \mathbb{R}$，c1⋅c2$c_1\cdot c_2$是可交换的，c1A$c_{1}A$也是可交换的。

下面开始推导QcoV=0$Q_{co}V=0$。

QcoV=(VTQV)QV−(QV)(QV)TV=QV(VTQV)−(QV)(VTQ)V=0$$Q_{co}V=\left(V^{T}QV\right)QV-\left(QV\right){\left(QV\right)}^{T}V=QV\left(V^{T}QV\right)-\left(QV\right)\left(V^{T}Q\right)V=0$$

注意：VTQV∈R$V^{T}QV\in \mathbb{R}$。

图9.10a的证明

Skew-symmetric part. The matrix Fa$F_a$ is skew-symmetric and may be written as
Fa=[xa]×$F_a={\left[{\mathbf{x}}_a\right]}_{\times }$, where xa${\mathbf{x}}_a$ is the null-vector of Fa$F_a$. The skew-symmetric part has 2 degrees of freedom and is identified with the point xa${\mathbf{x}}_a$.
The relation between the point xa${\mathbf{x}}_a$ and conic Fs$F_s$ is shown in figure 9.10a. The polar of xa${\mathbf{x}}_a$ intersects the Steiner conic Fs$F_s$ at the epipoles e$\mathbf{e}$ and e′${\mathbf{e}}^{\mathrm{\prime }}$ (the pole–polar relation is described in section 2.2.3(p30)). The proof of this result is left as an exercise.

证明目标：Fs$F_s$上过e$\mathbf{e}$的切线为Fse$F_s\mathbf{e}$过xa${\mathbf{x}}_a$点，xTaFse=0${\mathbf{x}}_a^T{F}_s\mathbf{e}=0$。同理，xTaFse′=0${\mathbf{x}}_a^T{F}_s{\mathbf{e}}^{\mathrm{\prime }}=0$。

证明: ∵$\because$ xa${\mathbf{x}}_a$是Fa$F_a$的零矢量，
∴$\therefore$ Faxa=0$F_a{\mathbf{x}}_a=0$ 和 xTaFa=0${\mathbf{x}}_a^T{F}_a=0$
又∵$\because$ Fs=F−FT2$F_s=\frac{F-F^T}{2}$
∴$\therefore$ Fxa=FTxa$F{\mathbf{x}}_a=F^T{\mathbf{x}}_a$ 和 xTaF=xTaFT${\mathbf{x}}_a^{T}F={\mathbf{x}}_a^T{F}^T$
直线la=Fsxa=12(F+FT)xa=Fxa=FTxa${\mathbf{l}}_a=F_s{\mathbf{x}}_a=\frac{1}{2}\left(F+F^T\right){\mathbf{x}}_a=F{\mathbf{x}}_a=F^T{\mathbf{x}}_a$
点e$\mathbf{e}$在直线la${\mathbf{l}}_a$上，所以

lTae=xTaFTse=xTaFse=xTaFe$${\mathbf{l}}_a^T\mathbf{e}={\mathbf{x}}_a^T{F}_s^T\mathbf{e}={\mathbf{x}}_a^T{F}_s\mathbf{e}={\mathbf{x}}_a^{T}F\mathbf{e}$$

又基本矩阵的性质知 Fe=0$F\mathbf{e}=0$，所以xTaFse=0${\mathbf{x}}_a^T{F}_s\mathbf{e}=0$

同理，由e′${\mathbf{e}}^{\mathrm{\prime }}$在直线la${\mathbf{l}}_a$上，可以得到xTaFse′=0${\mathbf{x}}_a^T{F}_s{\mathbf{e}}^{\mathrm{\prime }}=0$。