一 算法原理
粒子群算法(PSO)是由Kennedy 和Eberhart等于1995 年开发的一种演化计算技术, 来源于Millonas 对一个简化社会模型的模拟。其中“群( swarm )”来源于粒子群符合在开发应用于人工生命(artificiallife) 的模型时所提出的群体智能的5个基本原则。而“粒子(particle)”则是一个折衷的选择，因为既需要将群体中的成员描述为没有质量、没有体积的，同时也需要描述它的速度和加速状态。由于PSO 算法概念简单，实现容易，短短几年时间，
PSO 算法便获得了很大的发展，并在一些领域得到应用。 PSO 模拟鸟群的捕食行为。一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在那里。但是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的最优策略是什么呢。最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。 PSO 从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。PSO 中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitness value)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。 PSO 初始化为一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解，在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值 p Best，另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值 g Best。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分最优粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。 PSO 算法与其他演化算法相似, 也是基于群体的, 根据对环境的适应度将群体中的个体移动到好的区域，然而它不像其他演化算法那样对个体使用演化算子, 而是将每个个体看作n维搜索空间中的一个没有体积的微粒(点)，在搜索空间中以一定的速度飞行。这个速度根据它本身的飞行经验以及同伴的飞行经验进行动态调整。
二 PSO算法过程
1 种群随机初始化。
2 对种群内每一个个体计算适应值(fitness value)。适应值与最优解距离有关。
3 种群根据适应值进行复制
4 如果终止条件满足的话，就停止，否则转步骤2
从以上步骤，我们可以看到 PSO 和进化算法有很多共同之处。两者都随机初始化种群，而且都使用适应值来评价系统，而且都根据适应值来进行一定的随机搜索。两个系统都不是保证一定找到最优解。但是，PSO 没有遗传操作如交叉(crossover)和变异(mutation)，而是根据自己的速度来决定搜索。粒子还有一个重要的特点，就是有记忆。 与进化算法比较，
PSO 的信息共享机制是很不同的。在进化算法中，染色体(chromosomes) 互相共享信息，所以整个种群的移动是比较均匀的向最优区域移动。在 PSO 中, 只有 gBest (or pBest) 给出信息给其他的粒子，这是单向的信息流动。整个搜索更新过程是跟随当前最优解的过程。与进化算法比较, 在大多数的情况下，所有的粒子可能更快的收敛于最优解。研究表明 PSO 是一种很有潜力的神经网络算法，同时 PSO 速度比较快而且可以得到比较好的结果。
三 参数设定
种群数量：粒子群算法的最大特点就是速度快，因此初始种群取50-1000都是可以的，虽然初始种群越大收敛性会更好，不过太大了也会影响速度；
迭代次数：一般取100~4000，太少解不稳定，太多浪费时间。对于复杂问题，进化代数可以相应地提高；
惯性权重：该参数反映了个体历史成绩对现在的影响，一般取0.5~1；
学习因子：一般取0~4，此处要根据自变量的取值范围来定，并且学习因子分为个体和群体两种；
空间维数：粒子搜索的空间维数即为自变量的个数。
位置限制：限制粒子搜索的空间，即自变量的取值范围，对于无约束问题此处可以省略。
速度限制：如果粒子飞行速度过快，很可能直接飞过最优解位置，但是如果飞行速度过慢，会使得收敛速度变慢，因此设置合理的速度限制就很有必要了。
四 算法评价
粒子群算法是一门新兴算法，此算法与遗传算法有很多相似之处，其收敛于全局最优解的概率很大。
①相较于传统算法计算速度非常快，全局搜索能力也很强；
②PSO对于种群大小不十分敏感，所以初始种群设为500-1000，速度影响也不大；
③粒子群算法适用于连续函数极值问题，对于非线性、多峰问题均有较强的全局搜索能力。
五 算法验证
下面我们用一个例子来帮助理解，对于函数 f=xsin(x)cos(2x)-2xsin(3x) ，求其在区间[0,20]上该函数的最大值。首先我们需要画出函数的图像，如下图：
多峰问题对于算法的检验效果最佳，而上图显然是一个简单的非等距、非等高的多峰一元函数。
初始化种群
已知位置限制[0,20],由于一维问题较为简单，因此可以取初始种群N 为50，迭代次数为100,当然空间维数d 也就是1。
位置和速度的初始化即在位置和速度限制内随机生成一个N x d 的矩阵，对于此题，位置初始化也就是在020内随机生成一个50x1的数据矩阵，而对于速度则不用考虑约束，一般直接在01内随机生成一个50x1的数据矩阵。
此处的位置约束也可以理解为位置限制，而速度限制是保证粒子步长不超限制的，一般设置速度限制为[-1,1]。
粒子群的另一个特点就是记录每个个体的历史最优和种群的历史最优，因此而二者对应的最优位置和最优值也需要初始化。其中每个个体的历史最优位置可以先初始化为当前位置,而种群的历史最优位置则可初始化为原点。对于最优值，如果求最大值则初始化为负无穷，相反地初始化为正无穷。
每次搜寻都需要将当前的适应度和最优解同历史的记录值进行对比，如果超过历史最优值，则更新个体和种群的历史最优位置和最优解。
通过之前的参数设定可以得到如下的初始分布图：
速度与位置的更新
速度和位置更新是粒子群算法的核心，其原理表达式和更新方式如下:
每次更新完速度和位置都需要考虑速度和位置的限制，需要将其限制在规定范围内，此处仅举出一个常规方法，即将超约束的数据约束到边界（当位置或者速度超出初始化限制时，将其拉回靠近的边界处）。当然，你不用担心他会停住不动，因为每个粒子还有惯性和其他两个参数的影响。
matlab代码如下
clc;clear;close all;
%% 初始化种群
f= @(x)x .* sin(x) .* cos(2 * x) - 2 * x .* sin(3 * x); % 函数表达式
figure(1);ezplot(f,[0,0.01,20]);
N = 50; % 初始种群个数
d = 1; % 空间维数
ger = 100; % 最大迭代次数
limit = [0, 20]; % 设置位置参数限制
vlimit = [-1, 1]; % 设置速度限制
w = 0.8; % 惯性权重
c1 = 0.5; % 自我学习因子
c2 = 0.5; % 群体学习因子
for i = 1:d
x = limit(i, 1) + (limit(i, 2) - limit(i, 1)) * rand(N, d);%初始种群的位置
end
v = rand(N, d); % 初始种群的速度
xm = x; % 每个个体的历史最佳位置
ym = zeros(1, d); % 种群的历史最佳位置
fxm = zeros(N, 1); % 每个个体的历史最佳适应度
fym = -inf; % 种群历史最佳适应度
hold on
plot(xm, f(xm), 'ro');title('初始状态图');
figure(2)
%% 群体更新
iter = 1;
record = zeros(ger, 1); % 记录器
while iter <= ger
fx = f(x) ; % 个体当前适应度
for i = 1:N
if fxm(i) < fx(i)
fxm(i) = fx(i); % 更新个体历史最佳适应度
xm(i,:) = x(i,:); % 更新个体历史最佳位置
end
end
if fym < max(fxm)
[fym, nmax] = max(fxm); % 更新群体历史最佳适应度
ym = xm(nmax, :); % 更新群体历史最佳位置
end
v = v * w + c1 * rand * (xm - x) + c2 * rand * (repmat(ym, N, 1) - x);% 速度更新
% 边界速度处理
v(v > vlimit(2)) = vlimit(2);
v(v < vlimit(1)) = vlimit(1);
x = x + v;% 位置更新
% 边界位置处理
x(x > limit(2)) = limit(2);
x(x < limit(1)) = limit(1);
record(iter) = fym;%最大值记录
x0 = 0 : 0.01 : 20;
plot(x0, f(x0), 'b-', x, f(x), 'ro');title('状态位置变化')
pause(0.1)
iter = iter+1;
end
figure(3);plot(record);title('收敛过程')
x0 = 0 : 0.01 : 20;
figure(4);plot(x0, f(x0), 'b-', x, f(x), 'ro');title('最终状态位置')
disp(['最大值：',num2str(fym)]);
disp(['变量取值：',num2str(ym)]);
由上图可以看出算法已成功找出了最优解，其最优解为18.3014，而其最大值为32.1462。
如果想看粒子群算法中粒子的搜索过程的可以将代码中注释掉的三行代码放上去。效果是这样的
