直到现在才意识到，DFT或FFT无论是在信号处理、还是在图像分析、又或是模式识别中的地位和重要性，以至于在大学竟然没有自己写过信号的FFT的程序，果然出来混迟早是要还的，大学欠下的债现在该还了。花了一天看DFT、FFT，去证明蝶形运算、快速算法，又花了一天去写程序，去验证Fourier的理论，去实现自己的想法。
1、Syntax and Description
Y = fft(x) — returns the discrete Fourier Transform (DFT) of vector x,computed with a fast Fourier transform (FFT) algorithm. If the input x is a matrix, Y = fft(x) return the Fourier transform of each column of the matrix.
Y = fft(x,n) — returns the n-points DFT. fft(x) is equivalent to fft(x,n) where n is the size of x.If the length of x is less than n, x is padded with trailing zeros to length n. If the length of x is greater than n, the sequence x is truncated. When x is a matrix, the length of the columns are adjusted in the same manner.
Y = fft(x,[ ],dim) and Y = fft(x,n,dim) — applies the FFT operation across the dimension dim.
2、程序示例
clc
clear all
close all
Fs=1000; % Sampling Frequency
Ts=1/Fs; % Sampling Time
f=50; % Frequence of Signal
N=256; % Length of Signal
t=(0:N-1)*Ts; % Time Vector
x=sin(2*pi*f*t); % Sine Signal
subplot(311)
plot(t,x);
ylabel('x(t)'),xlabel('t/s'),title('时域信号')
grid on
NFFT=2^nextpow2(N); % Next power of 2 from length of x.
y=fft(x,NFFT); % 基-2快速傅里叶变换
X=abs(y); % Compute Amplitude Spectrum of x
f=(0:N-1)/(N*Ts); % Frency Vector
subplot(312)
plot(f,X);hold on
ylabel('X(f)'),xlabel('f/Hz'),title('频域信号')
grid on
ind=find(X==max(X),1,'first'); %寻找最大值位置，返回1个linear inds：ind
x0=f(ind); %根据位置得到横坐标（频率）
y0=X(ind); %根据位置得到纵坐标（幅度）
plot(x0,y0,'ro');hold on
text(x0+1,y0-0.1,num2str(x0,'频率=%f'));
% text(x,y,'string')在图形中指定的位置(x,y)上显示字符串string
ind=find(X==max(X),1,'last'); %寻找最大值位置，返回1个linear inds：ind
x0=f(ind); %根据位置得到横坐标（频率）
y0=X(ind); %根据位置得到纵坐标（幅度）
plot(x0,y0,'ro');hold off
text(x0-10,y0+10,num2str(x0,'频率=%f'));
% text(x,y,'string')在图形中指定的位置(x,y)上显示字符串string
x1=ifft(y,NFFT); % Inverse FFT
subplot(313)
plot(t,x1);
ylabel('x1(t)'),xlabel('t/s'),title('逆变换信号')
grid on
3、程序解读
先从理论分析sin（2Πft）的频谱（幅度谱）长啥样，根据理论有：
由上式可以得出结论：sin（2Πft）的FT是复数，我们接下来主要研究它的幅度谱。显然，正弦函数的幅度谱就是在f0处和-f0处的两条幅度都为（正）无穷大的冲激（不考虑冲激的相位，仅考虑模值）。
但是问题来了，程序始终不可能求连续的FT，计算机也只能求DFT或者FFT，所以信号会被离散、截短，会将没有信号的位置认为是信号的周期延拓。这会导致频谱泄露，以至于频谱幅度不会是无穷大，只能说是很大，中心频率附近的频率分得泄露的频谱（能量）从而幅度不为0。
时域信号以Fs进行采样离散化，频域会以Fs周期延拓；时域信号以观测时间NTs周期延拓，频域将以1/（NTx）（频域分辨率）为间隔离散化。由于计算机执行的是DFT，我们只能得到主值序列【0到N-1的x（n）和X（k）】，所以在-f0处的谱线就会出现在Fs-f0。
接下来由两个实验加强理解傅里叶变换。
（1）改变采样频率Fs，采样点数N=256，信号频率f0=50Hz。
a、Fs=1000Hz（信号频率的20倍），结果如下：
b、Fs=500Hz（信号频率的10倍），结果如下：
c、Fs=100Hz（Nyquist频率），其实对于正弦信号来说，在Nyquist采样频率下已经失真。结果如下：
（2）调整采样点数N，f0=50Hz。
a、N=256，结果如下：
b、N=512，结果如下：
c、N=1024，结果如下：
虽然实验不够完善，但是也能粗略的说明问题。（1）中主要改变抽样频率，可以发现抽样频率必须要远大于由采样定理所确定的采样频率，那毕竟是“理论上”的极限，这样才能有很高得保真度；（2）中主要改变信号得观测长度，取得得观测点数N越多，采样信号与原始信号（时间上无始无终）越接近，因为截短而造成得频谱泄露程度就越轻。
完成！！！