图像特征之LoG算子与DoG算子

原文站点：https://senitco.github.io/2017/06/20/image-feature-LoG-DoG/

LoG(Laplacian of Gaussian)算子和DoG(Difference of Gaussian)算子是图像处理中实现极值点检测(Blob Detection)的两种方法。通过利用高斯函数卷积操作进行尺度变换，可以在不同的尺度空间检测到关键点(Key Point)或兴趣点(Interest Point)，实现尺度不变性(Scale invariance)的特征点检测。

Laplacian of Gaussian(LoG)

Laplace算子通过对图像求取二阶导数的零交叉点(zero-cross)来进行边缘检测，其计算公式如下：

\nabla 2 f (x, y) = \partial 2 f \partial x 2 + \partial 2 f \partial y 2

由于微分运算对噪声比较敏感，可以先对图像进行高斯平滑滤波，再使用Laplace算子进行边缘检测，以降低噪声的影响。由此便形成了用于极值点检测的LoG算子。常用的二维高斯函数如下：

G σ (x, y) = 1 2 π σ 2 - - - - \sqrt e x p (- x 2 + y 2 2 σ 2)

原图像与高斯核函数卷积后再做laplace运算

Δ [G σ (x, y) * f (x, y)] = [Δ G σ (x, y)] * f (x, y)

L o G = Δ G σ (x, y) = \partial 2 G σ (x, y) \partial x 2 + \partial 2 G σ (x, y) \partial y 2 = x 2 + y 2 - 2 σ 2 σ 4 e - (x 2 + y 2) / 2 σ 2

所以先对高斯核函数求取二阶导数，再与原图像进行卷积操作。由于高斯函数是圆对称的，因此LoG算子可以有效地实现极值点或局部极值区域的检测。

Difference of Gaussian(DoG)

DoG算子是高斯函数的差分，具体到图像中，就是将图像在不同参数下的高斯滤波结果相减，得到差分图。DoG算子的表达式如下：

D o G = G σ 1 - G σ 2 = 1 2 π - - \sqrt [1 σ 1 e - (x 2 + y 2) / 2 σ 21 - 1 σ 2 e - (x 2 + y 2) / 2 σ 22]

如果将高斯核函数的形式表示为

G σ (x, y) = 1 2 π σ 2 e x p (- x 2 + y 2 2 σ 2)

则存在以下等式

\partial G \partial σ = σ \nabla 2 G

\partial G \partial σ \approx G (x, y, k σ) - G (x, y, σ) k σ - σ

因此有

G (x, y, k σ) - G (x, y, σ) \approx (k - 1) σ 2 \nabla 2 G

其中k−1是个常数，不影响极值点的检测，LoG算子和DoG算子的函数波形对比如下图所示，由于高斯差分的计算更加简单，因此可用DoG算子近似替代LoG算子

边缘检测(Edge Detection)和极值点检测(Blob Detection)

LoG算子和DoG算子既可以用于检测图像边缘，也可用于检测局部极值点或极值区域，图像边缘在LoG算子下的响应情况如下图所示，二阶微分算子在边缘处为一过零点，而且过零点两边的最大值(正)和最小值(负)的差值较大。

接下来观察下图，由边缘过渡到极值点，LoG算子的响应变化

LoG算子在极值点(Blob)处的响应如下图所示：

通过定义不同尺寸的高斯核函数，可以实现在不同尺度检测Blob，如下图所示

算法流程

对原图像进行LoG或者DoG卷积操作
检测卷积后图像中的过零点(边缘)或者极值点(Blob)
如果是检测边缘，则对过零点进行阈值化(过零点两边的最大值和最小值之间的差值要大于某个阈值)；如果是检测极值点，则极值点的LoG或DoG响应值应该大于某个阈值。

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图像特征之LoG算子与DoG算子

Laplacian of Gaussian(LoG)

Difference of Gaussian(DoG)

边缘检测(Edge Detection)和极值点检测(Blob Detection)

算法流程

reference

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