六 核函数（Kernels）
例如，对于二分问题，某些数据的结果需从一维映射到高维，才能线性可分，简而言之就是可以用超平面划分。比如，在线性回归单一特征的例子中，我们将唯一的特征x，映射到三维，分别为x,x^2,x^3。定义一个关于特征向量x的函数列向量φ(x)，这被称为特征映射，其中每一行代表映射的结果，比如上例的特征映射函数为
在SVM前篇的末尾中给出了超平面划分函数的表达式，其中含有训练数据与输入数据的内积一项，那么原内积
变为
。为了形式化定义核函数，若原始特征内积为
，那么映射后的内积为
，那么映射后的内积被称为核函数（Kernel），具体形式如下
那么映射后的划分函数中的内积就可替换为
。
例如，若核函数为
，那么展开后的具体形式为
据此得出，特征映射函数φ的表达式为下
那么为了计算变换过的内积，若根据上面的展开式计算，可知，复杂度为O(n^2)。但若通过(x^Tz)^2，可知复杂度为O(n)。所以若根据核函数的形式然后求出特征映射函数，可降低复杂度。
再如，若有如下核函数
可得φx为
更一般地，核函数
将原特征映射到
维的特征空间。
接着有如下核函数
若x与z值很接近，那么K值接近1；若x与z相差很远，那么K值接近0。由于此形式与高斯分布很相似，故此称为高斯核函数，也叫径向基函数(Radial Basis Function RBF)。RBF可讲特征映射到无限维，根据泰勒展式可有
可知，特征被映射到了无限维。更多解释可以到知乎搜索。
七 核函数有效性判定
下面的问题是如何判定核函数是否可用，对于给定的K能否找到对应的φ。
对于核函数K，易得有
可知其为一个对称阵，那么对于核函数矩阵K，根据矩阵半正定的定义，有如下式子
可知K是半正定矩阵，可知K为有效的核函数，那么K为半正定矩阵。而这个结论反过来也是正确的，这样就有了Mercer定理，简单用一句话说就是：
Mercer定理：任何半正定的函数都可以作为函数
Mercer定理的完整证明，这里不赘述，可查阅相关资料。
八 规则化和不可分情况处理(Regularization and the non-separable case)
看如下图
右图中加入的点（可称为噪声）会使超平面移动，会使总体判定水平下降，因此采用软间隔，改变问题为如下
松弛变量εi是针对那些影响判定的明显噪声点，如上图，该点据原超平面的距离为负，因此加入松弛变量后，原函数距离的限制从1变为了1-εi，表示允许部分距离小于1（包括负）。而放松限制条件后，我们需要重新调整目标函数，以对离群点进行处罚，目标函数后面加上CΣεi就表示离群点越多，离群越远对目标函数影响越大，C表示离群点的权重。
模型修改后，拉格朗日公式如下修改：
这里的αi和ri都是拉格朗日乘子，回想之前拉格朗日对偶中提到的求法，先写出拉格朗日公式，然后将其看作是w和b的函数，分别对其求偏导，然后得到w和b有关的表达式。然后带入公式中，求带如后公式的极大值。过程略过，最后结果为
此时，我们发现没有了参数εi，与之前模型唯一不同在于αi又多了αi<=C的限制条件。需要提醒的是，b的求职公式也发生了改变，改变结果在SMO算法里面介绍。那么KKT条件变为：
第一个式子表明在两条间隔线外的样本点前面的系数为 0，离群样本点前面的系数为 C， 而支持向量（也就是在超平面两边的最大间隔线上）的样本点前面系数在(0,C)上。通过 KKT 条件可知，某些在最大间隔线上的样本点也不是支持向量，相反也可能是离群点。
九 坐标上升法（Coordinate ascent）
在最后讨论maxW(α)的求解，即SMO算法之前，我们先看看坐标上升法的基本原理。
假设求解以下优化问题：
同梯度下降法与牛顿法一样，坐标上升法也是一种求解最值的优化算法（求解最小值问题时，称为坐标下降法，原理一样）
梯度上升法遵循以下方法：
更新过程为每次固定除αi以外的参数，求得满足条件的αi，直到算法收敛。求单个参数的最大值，无非是对此参数求导，具体有如下例子，比如求下列函数的最值：
在迭代的过程中，每次固定x2 更新x1 ，在确定了x1 的条件下，固定x1 ，更新x2 ，即：
令其为0，得到：
再固定x2 ，得到：
得到：
不断按照上述的过程，直到算法收敛。下图是算法在整个过程中的更新曲线：
、
具体来说，上图是以x1=2为起点，那么只看x1的话，它的值变化为：2，2/3，2/9，2/27，...直至趋近与0，达到最大值。
十 SMO优化算法（Sequential minimal optimization）
我们上面提到，对偶函数的优化问题，由SMO算法解决，即如下问题：
其中αi为参数，x(i),y(i)均这些训练数据为已知数，权重C由我们预先设定，也是已知数。
若直接采用坐标上升法，比如对于i=1，α1为参数，固定其它αi，但这样α1将会被直接求出，因为有第二个限制条件。因此，我们改为选取两个参数优化，比如对于α1,α2，固定其它αi，那么α1可以用α2和其它αi表示，这样带回到W中，W就只是关于α2的函数了。
因此SMO的主要步骤如下
第一步中的启发式算法不予叙述，相见John C. Plat的《 Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》。
固定两个参数后，易知有如下：
因为等式右边项为固定的αi，那么可看作常数，所以写成：
当y(1)和y(2)异号时，也就是一个为 1，一个为-1 时，他们可以表示成一条直线，斜率为 1。如下图
这两条线分别代表
分别为正和负值时的直线情况。
α1与α2在直线上，是因为满足两者之间和的等式；α1和α2在矩形方框内，是因为满足0<=αi<=C的不等式。因此，对于α2的上界H与下界有如下取值：
当y(1)与y(2)异号时，同理有：
如果将α2用α1表示，那么有：
最后反代如W，得到：
展开后，W可以表示成关于α2的二次函数形式，这样可以通过对W进行求导，得到使W最大的α2，不过注意α2存在取值区间[L,H]，那么我们用
表示求导出来的α2，那么对于最终的α2，
，有
那么根据α1关于α2的表达式，可以求出
。